函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质

卫福山(上海市松江二中)第一课时《北京青年报》2002年2月24日报道：中国第一座高108m的摩天轮在锦江乐园起吊了第一根钢质主支架.上海这座摩天轮的诞生将以此高度跻身世界三大摩天轮之列.讨论xyo考察摩天轮上吊篮与轮环的某一个连接点.xyO0ppt角速度:ω半径:R.sin()yRt0OP绕O点按逆时针方向，匀速运动，经过t分钟后达到.OPsin()yAx一般地，在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数解析式（其中A，ω,φ是常数）,如交流电、振动和波等.列表：02322xxsin2xsin21xsin10001002210002210例1.作函数及的图象.xysin21xysin2解：1.y=2sinxy=sinxy=sinx21xyO212212.描点、作图：周期相同作图xyO21221xyO21221y=2sinxy=sinxy=sinx21xyO21221y=sinx21y=2sinxy=2sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍.y=sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍.2121xyO21221一、函数y=Asinx(A0)的图象函数y=Asinx(A0且A≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：.sin31)2(sin23)1(xyxy；1.列表：xx2x2sin4π2π43ππ02322100010例2.作函数及的图象.xy21sinxy2sinxOy2122132.描点：y=sin2xy=sinx连线:xy21sin对于函数x0234πx2102ππ23π2x21sin010－101.列表：xyO211342.描点、作图：y=sinx21y=sinxxyO21134xyO21134y=sinx21y=sin2xy=sinx振幅相同作图xyO21134y=sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）.y=sin2x的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）.2121二、函数y=sinx(0)图象y=sinx21y=sin2xy=sinx函数y=sinx(0且≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.ω1练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：.21sin21)3(31sin)2(4sin)1(xyxyxy，，x11O234的图象的关系：的图象与xyxysin21sin21)3(xy21sin21伸长为原来的2倍图象上各点横坐标xysin21xysin缩短为原来的一半图象上各点纵坐标方法1：xysin21xysinxy21sin21xyO21134xy21sinxysin伸长为原来的2倍图象上各点横坐标xy21sin21缩短为原来的一半图象上各点纵坐标xysinxy21sin21xy21sin的图象的关系：的图象与xyxysin21sin21)3(方法2：例3.作函数及的图象.sin()4πyx)3sin(πxy2302265π611π3π37π34πx3πx)sin(3πx010-10yxO2113π4π)3sin(πxy)4sin(xyxO2113π4π3π4πxO211三、函数y=sin(x+φ)图象)3sin(πxy)4sin(πxy周期相同xO2113π4π)3sin(πxy)4sin(πxy函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平移|φ|个单位而得到的.三、函数y=sin(x+φ)图象复习图象与性质关系：1sinsin2sinsinsinsinsinsin().yxyAxyxyxyxyAxyxyx.；.；3.；4.第二课时例4.作函数及的图象.)42sin(πxy)32sin(πxy23022125π1211π6π67π32πx3πx2)2sin(3πx010-10yxO112π6π)2sin(3πxyy=sin2x四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系yxO112π)32sin(πxy)2sin(4πxy周期相同想一想?它们的周期有何关系?yxO1126678π6π8π函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sinωx的图象上所有的点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平移||个单位而得到的.练习：)2sin(36πxy1.怎样由函数的图象得到函数的图象？2sin3xy2sin3xy2.怎样由函数的图象得到函数的图象？)62sin(3πxy3.怎样由函数的图象得到函数的图象？)2sin(36πxy)2sin(36πxy的图象？的图象得到问题：怎样由)2sin(2sin6πxyxyxysin2sinxy)62sin(πxy)62sin(2πxy所有点的横坐标伸长为原来的多少倍？所有的点向哪边平移多少个单位？所有点的纵坐标伸长为原来的多少倍？例5作函数及的图象.)32sin(πxy)3sin(πxy3πxO2116π35π6567π127π)3sin(πxy)2sin(3πxy作图Flash函数y=sin(x+φ)(0且≠1)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.1的图象有何关系？与问：)sin()sin(xyxy的图象？的图象得到问题：怎样由)2sin(2sin6πxyxyxysin2sinxy)62sin(πxy)62sin(2πxy所有点的横坐标伸长为原来的2倍所有的点向右平移多少个单位？所有点的纵坐标伸长为原来的2倍xysin所有的点向右平移多少个单位？所有点的纵坐标伸长为原来的多少倍？所有点的横坐标伸长为原来的多少倍？)6sin(πxy)62sin(πxy)62sin(2πxy途径一:途径二:一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:1.先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ0)或右(φ0)平行移动|φ|个单位;2.再把所得图象上各点的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变);3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变).途径1：1.先把y=sinx的图象上各点的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变);2.再把所得图象上所有的点向左(φ0)或右(φ0)平行移动个单位;3.再把所得图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变).途径2：||用箭头简单解释：1.sinsin()sin()sin()yxyxyxyAx；sinsinsin()sin().yxyxyxyAx2.总结：变换有两种：平移变换（左右、上下B）;伸缩变换（左右、上下A）.sin().yAxB当函数y=Asin(ωx+φ),(A0,ω0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=2π/ω,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f=1/T=ω/2π,它叫做振动的频率;ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相).