东北三省三校2019年高三第二次联合模拟考试数学理试卷

·1·东北三省三校2019年高三第二次联合模拟考试（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若}7,6,5{}3,2,1{}8,7,6,5,4,3,2,1{BAU，，，则()()UUCACB=A.{4,8}B.{2,4,,6,8}C.{1,3,5,7}D.{1,2,3,5,6,7}2.已知复数iz2321，则||zzA.i2321B.i2321C.i2321D.i23213.设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N，若)(cP=)2(cP，则c的值是A.1B.2C.3D.44.已知113::xqkxp，，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是A.),2[B.),2(C.),1[D.]1,(5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BCAacbcsinsinsin，则B=A.6B.4C.3D.436.已知函数)1ln()(2xxf的值域为}2,1,0{，则满足这样条件的函数的个数为A.8B.9C.26D.277.已知△ABC中，16·10ACABBC，，D为边BC的中点，则AD等于A.6B.5C.4D.38.函数)42sin(2)(xxh的图象与函数)(xf的图象关于点)1,0(对称，则函数)(xf可由)(xh经过的变换得到·2·A.向上平移2个单位，向右平移4个单位B.向上平移2个单位，向左平移4的单位C.向下平移2个单位，向右平移4个单位D.向下平移2个单位，向左平移4的单位9.一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记。该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，c∈)1,0[），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当ba9110取最小值时，c的值为A.111B.112C.115D.010.已知某算法的流程图如图所示，输入的数x和y为自然数，若已知输出的有序数对为)14,13(，则开始输入的有序数对),(yx可能为A.)7,6(B.)6,7(C.5,4D.)4,5(11.已知双曲线12222byax)00(ba，的焦点)0,(1cF、)0)(0,(2ccF，过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点。设mCFBF11，nDFAF11，则下列各式成·3·立的是A.||||nmB.||||nmC.0||nmD.0||nm12.已知方程kxx|cos|在),0(上有两个不同的解α、β)(，则下列的四个命题正确的是A.sin2α=2αcos2αB.cos2α=2αsin2αC.sin2β=-2βsin2βD.cos2β=-2βsina2β第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.观察下列等式：2311，233321，23336321，23333104321，…，根据上述规律，第n个等式为14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为15.在区间]2,0[和]1,0[分别取一个数，记为x、y，则xxy22的概率为。16.P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=BD1（)1,0(）。下面结论：①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则31；③若△PAC为钝角三角形，则)21,0(；④若)1,32(，则△PAC为锐角三角形。其中正确的结论为。（写出所有正确结论的序号）·4·三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设||log4nnab，求数列}·1{2nnbb前n项和Tn。18.（本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分。上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示。（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品。①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望。19.（本小题满分12分）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=23，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点。·5·（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅲ）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值。20.（本小题满分12分）已知圆1)2(:22yxM，直线1:yl，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）定点A（4，2），B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证：直线BC恒过定点。21.（本小题满分12分）已知函数)0(1)(2axbaxxf（Ⅰ）求证：)(xf必有两个极值点，一个是极大值点，—个是极小值点；（Ⅱ）设)(xf的极小值点为α，极大值点为β，1)(1)(ff，，求a、b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设)()(xefxg，若对于任意实数x，222)(mxxg恒成立，求实数m的取值范围。请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q。·6·（Ⅰ）求证：AC2=CQ·AB；（Ⅱ）若AQ=2AP，AB=3，BP=2，求QD。23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为22sin12，直线l的极坐标方程为cossin24。（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知1,,222cbaRcba，。（Ⅰ）求证：3||cba；（Ⅱ）若不等式2)(|1||1|cbaxx对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围。·7·参考答案二模理科数学参考答案题号123456789101112答案ADCBCBDAABCC13．22333(1)124nnn14．1252315．2316．①②④17．（Ⅰ）解：当1n时，111151,4aSa………2分又1151,51nnnnaSaS115,nnnaaa………4分114nnaa即∴数列na是首项为114a，公比为14q的等比数列，∴1()4nna………6分（Ⅱ）nbnn)41(log4，………8分所以211111(2)22nnbbnnnn………10分1111111111(1)()()1232422212nTnnnn………12分18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1………3分（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，所以甲乙两产品同时被选中的概率为1283301145CPC………7分②第四组共有X个产品被购买，所以X的取值为0,1,21233266(0)15CCPXC；111322268(1)15CCCPXC；22261(2)15CPXC；·8·所以X的分布列为01228151515XP………10分812215153EX………12分19．（Ⅰ）证明:连结MO1111////AMMAMOACAOOCMOBMDACBMDACBMD平面平面平面………3分（Ⅱ）11BDAABDACBDAAC,得面于是1BDAOACBDO1111116032223cos60ABCDBADAOACABAAAOACAOABCDAACAOBD平面………7分(Ⅲ)·9·如图建立直角坐标系，1(0,0,3)(3,0,0)(3,0,0)(0,1,0)(0,1,0)AACBD111(23,0,0)(23,0,3)ACACC3333(,0,)(,1,)2222MMB1(0,2,0)(23,1,3)DBBC设平面1BCD的法向量为(,,)nxyz11200(3,0,2)23300ynDBnDBnyznBCnBC………9分9cos,47BMn………11分所以，直线BM与平面1BCD所成角的正弦值为9728………12分20．（Ⅰ）设(,)Pxy，则222(2)(1)18xyyxy………4分（Ⅱ）设直线BC：ykxb，1122(,),(,)BxyCxy将直线BC代入到28xy中得2880xkxb，所以12128,8xxkxxb………5分又因为1122(4,2),(4,2)ABxyACxy所以12121212221212(4)(4)(2)(2)(4)(4)(2)(2)(1)[(2)4]()(2)160ABACxxyyxxkxbkxbkxxkbxxb228(1)8[(2)4](2)160bkkkbb2222121632200(6)16(1)0bbkkbk………8分410bk或42bk………10分所以恒过定点(4,10)………12分21．·10·（Ⅰ）22'2222122()11axxaxbaxbxafxxx令'2()020fxaxbxa224()0ba………2分'()0fx有两实根不妨记为,x,,,'()fx00()fx极小极大所以，()fx有两个极值点，一个极大值点一个极小值点………4分（Ⅱ）220axbxa，由韦达定理得2ba2222110200110fababfab……6分00,1,1b，所以2a………7分(Ⅲ)因为22()01xxegxe，所以0m………8分又因为当0x时，不等式恒成立所以，原问题22xxeemx对一切,00,x恒成立法一、设22()xxeeuxx