求数列通项公式的方法总结(强烈推荐)

求数列{an}通项公式的方法1．1na=na+)(nf型累加法：na=（na－1na）+（1na－2na）+…+（2a－1a）+1a=)1(nf+)2(nf+…+)1(f+1a例1.已知数列{na}满足1a=1，1na=na+n2（n∈N+），求na.[解]na=na－1na+1na－2na+…+2a－1a+1a=12n+22n+…+12+1=2121n=n2－1∴na=n2－1（n∈N+）3．1na=pna+q型（p、q为常数）方法：（1）1na+1pq=)1(pqapn，再根据等比数列的相关知识求na.（2）1na－na=)(1nnaap再用累加法求na.（3）11nnpa=nnpa+1npq，先用累加法求nnpa再求na.例3.已知{na}的首项1a=a（a为常数），na=21na+1（n∈N+，n≥2），求na.[解]设na－λ=2（1na－λ），则λ=－1∴na+1=2（1na+1）∴{1na}为公比为2的等比数列.∴na+1=（a+1）·12n∴na=（a+1）·12n－12．)(1ngaann型累乘法：na=1nnaa·21nnaa…12aa·1a例2.已知数列{na}满足naann1（n∈N+），1a=1，求na.[解]na=1nnaa·21nnaa…12aa·1a=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！∴na=（n－1）！（n∈N+）4．1na=pna+)(nf型（p为常数）方法：变形得11nnpa=nnpa+1)(npnf，则{nnpa}可用累加法求出，由此求na.例4.已知{na}满足1a=2，1na=2na+12n.求na.[解]112nna=nna2+1∴{nna2}为等差数列.nna2=nna121∴na=n·n25．2na=p1na＋qna型（p、q为常数）特征根法：qpxx2（1）21xx时，na=1C·nx1+2C·nx2（2）21xx时，na=（1C+2C·n）·nx1例5.数列{na}中，1a=2，2a=3，且2na=1na+1na（n∈N+，n≥2），求na.[解]1na=2na－1na∴122xx∴121xx∴na=（1C+2C·n）·n1=1C+2C·n∴3222121CCCC∴1121CC∴)(1Nnnan7．“已知nS，求na”型方法：na=nS－1nS（注意1a是否符合）例6.设nS为{na}的前n项和，nS=23（na－1），求na（n∈N+）[解]∵nS=23（na－1）（n∈N+）∴当n=1时，1a=23（1a－1）∴1a=3当n≥2时，na=nS－1nS=23（na－1）－23（1na－1）∴na=31na∴na=n3（n∈N+）6．1na=DCaBAann型（A、B、C、D为常数）特征根法：x=DCxBAx（1）21xx时，21xaxann=C·2111xaxann（2）21xx时，11xan=Cxan111例6.已知1a=1，1na=22nnaa（n∈N+），求na.[解]x=22xx∴021xx∴na1=11na+C∵1a=1，2a=32，∴代入，得C=21∴na1为首项为1，d=21的等差数列.∴na1=21n∴na=12n（n∈N+）8．“已知na，1na，nS的关系，求na”型方法：构造与转化的方法.例8.已知{na}的前n项和为nS，且na+2nS（1nS－1na－na）=0（n≥2），1a=21，求na.[解]依题意，得nS－1nS+2nS·1nS=0∴nS1－11nS=2∴nS1=２+2（n－１）=2n∴nS=n21，1nS=)1(21n∴na=nS-1nS=－2×n21×)1(21n=)1(21nn（2n）∴na=)2,()1(21)1(21nNnnnn