高中数学必修五第三章测试题(有详细答案)

第三章能力检测满分150分．考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有()A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N【答案】A【解析】M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝a＋122＋34＞0，∴M＞N.2．下列结论成立的是()A．若ac＞bc，则a＞bB．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a＋c＞b＋dD．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c【答案】D【解析】对于A，当c＜0时，不成立；对于B，取a＝－1，b＝－2，不成立；对于C，取a＝2，b＝1，c＝0，d＝3，不成立；对于D，∵c＞d，∴－d＞－c，又a＞b，∴a－d＞b－c，因此成立．故选D．3．不等式x2－x－6x－1＞0的解集为()A．{x|x＜－2或x＞3}B．{x|x＜－2或1＜x＜3}C．{x|－2＜x＜1或x＞3}D．{x|－2＜x＜1或1＜x＜3}【答案】C【解析】原不等式可化为(x＋2)(x－1)(x－3)＞0，则该不等式的解集为{x|－2＜x＜1或x＞3}．4．(2017年四川自贡模拟)设集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝()A．(－2,0)B．(－2,3)C．(0,2)D．(2,3)【答案】D【解析】A＝{x|x2－3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜－2}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选D.5．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立，则a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．－∞，－52C．－52，＋∞D．[2，＋∞)【答案】C【解析】x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立⇔a≥－x2－1x对于一切x∈0，12成立⇔a≥－x－1x对于一切x∈0，12成立．∵y＝－x－1x在区间0，12上是增函数，∴－x－1x≤－12－2＝－52.∴a≥－52.故选C．6．(2017年上海校级联考)已知函数f(x)＝x＋px－1(p为常数且p0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为()A．92B．94C．2D．4【答案】B【解析】由题意得x－10，f(x)＝x－1＋px－1＋1≥2p＋1，当且仅当(x－1)2＝p即x＝p＋1时取等号．∵f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p＋1＝4，解得p＝94.7．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4]B．[－4，＋∞)C．[－12，＋∞)D．(－∞，－12]【答案】A【解析】∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4，∴当a≤－4时，2x2－8x－4≥a在[1,4]内有解．8．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是()ABCD【答案】A【解析】由题可知x＋y≥2，3x＋y≤10，2x＋3y≤9，x≥0，y≥0.故选A．9．(2016年广东佛山模拟)若ab0，c＜d＜0，则一定有()A．adbcB．adbcC．acbdD．acbd【答案】B【解析】∵c＜d＜0，∴1d＜1c＜0，∴－1d＞－1c＞0.而a＞b＞0，∴－ad＞－bc＞0，∴ad＜bc.故选B．10．下列函数中，最小值是4的函数是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81【答案】C【解析】当x＜0时，y＝x＋4x≤－4，排除A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，y＝sinx＋4sinx＞4，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4，等号在ex＝4ex即ex＝2时成立；若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，排除D．故选C．11．关于x的不等式px2＋qx＋r＞0的解集是{x|α＜x＜β}(β＞α＞0)，那么另一个关于x的不等式rx2－qx＋p＞0的解集应该是()A．x1α＜x＜1βB．x1β＜x＜1αC．x－1β＜x＜－1αD．x－1α＜x＜－1β【答案】D【解析】因为关于x的不等式px2＋qx＋r＞0的解集是{x|α＜x＜β}，所以α和β可看作方程px2＋qx＋r＝0的两个根且p＜0，则α＋β＝－qp，α·β＝rp.因为0＜α＜β，p＜0，所以r＜0.所以rx2－qx＋p＞0，即rpx2－qpx＋1＜0，即α·βx2＋(α＋β)x＋1＜0，解得－1α＜x＜－1β.故选D．12．已知实数x，y满足x－yx＋y－2≥0，1≤x≤4，则x＋2y的取值范围为()A．[12，＋∞)B．[0,3]C．[0,12]D．[3,12]【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l0：x＋2y＝0，平移l0可见当经过可行域内的点A，B时，z＝x＋2y分别取得最大值与最小值，∴zmax＝12，zmin＝0，故选C．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.【答案】2【解析】由题意知a＞0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2.∴不等式为2x2－6x＋4＜0，即x2－3x＋2＜0.∴1＜x＜2.∴m＝2.14．(2016年湖南郴州二模)记不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．【答案】12，4【解析】满足约束条件x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4的平面区域如图所示．因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0)，所以当y＝a(x＋1)过点B(0,4)时，得到a＝4；当y＝a(x＋1)过点A(1，1)时，得到a＝12.又因为直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，所以12≤a≤4.15．已知二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为xx≠－1a且a＞b，则a2＋b2a－b的最小值为________．【答案】22【解析】∵二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为xx≠－1a，∴a＞0且对应方程有两个相等的实根－1a.由根与系数的关系得－1a·－1a＝ba，即ab＝1，故a2＋b2a－b＝a－b2＋2a－b＝(a－b)＋2a－b.∵a＞b，∴a－b＞0.由基本不等式可得(a－b)＋2a－b≥2a－b2a－b＝22，当且仅当a－b＝2时取等号，故a2＋b2a－b的最小值为22.16．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组2a－b≥5，a－b≤2，a7.设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝______.【答案】13【解析】由题意得x＝a＋b，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，x取最大值，∴x＝a＋b＝13.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－k2＝0的两个实根，求x21＋x22的最小值．【解析】由题意，得x1＋x2＝2k，x1x2＝1－k2.Δ＝4k2－4(1－k2)≥0，∴k2≥12.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4k2－2(1－k2)＝6k2－2≥6×12－2＝1.∴x21＋x22的最小值为1.18．(本小题满分12分)(1)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2两个代数式值的大小，并说明理由；(2)解关于x的不等式56x2＋ax－a2＜0.【解析】(1)∵(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝(x2＋12x＋35)－(x2＋12x＋36)＝－1＜0，∴(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2.(2)∵56x2＋ax－a2＜0，∴(7x＋a)(8x－a)＜0，即x－－a7x－a8＜0.①当a＝0时，－a7＝a8，不等式化为x2＜0，解得x∈∅.②当a＞0时，－a7＜a8，不等式的解集为x－a7＜x＜a8.③当a＜0时，－a7＞a8，不等式的解集为xa8＜x＜－a7.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb满足f(－1)＝－2且对于任意x∈R，恒有f(x)≥2x成立．(1)求实数a，b的值；(2)解不等式f(x)＜x＋5.【解析】(1)由f(－1)＝－2知lgb－lga＋1＝0，所以ab＝10.又f(x)≥2x恒成立，即f(x)－2x≥0恒成立，则有x2＋x·lga＋lgb≥0恒成立，故Δ＝(lga)2－4lgb≤0，所以(lgb＋1)2－4lgb≤0，即(lgb－1)2≤0.故lgb＝1，即b＝10，a＝100.(2)由(1)知f(x)＝x2＋4x＋1，f(x)＜x＋5，即x2＋4x＋1＜x＋5，所以x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1，因此不等式的解集为{x|－4＜x＜1}．20．(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解析】(1)依题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理，得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当y－1.2－1×10000，0x1，即－60x2＋20x0，0x1，解得0＜x＜13，∴为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜13.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.(1)若关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式f(x)＞0.【解析】(1)∵不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，∴－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根且a＜0.∴a－b－a＋2＝0，9a＋3b－a＋2＝0，解得a＝－1，b＝2.(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，∵a＞0，∴(x＋1)x－a－2a＞0.①若－1＝a－2a，即a＝1，解集为{x|x≠－1}．②若－1＞a－2a，即0＜a＜1，解集为xx＜a－2a或x＞－1.③若－1＜a－2a，即a＞1，解集为xx＜－1或x＞a－2a.22．(本小题满分12分)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润4