高中数学不等式和绝对值不等式

第一讲不等式和绝对值不等式1、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性：传递性：_________②、，a+c＞b+c③、a＞b，，那么ac＞bc；a＞b，，那么ac＜bc④、a＞b＞0，那么，ac＞bd⑤、ab0，那么anbn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件）nnbaabbacacbba,Rcba,0c0c0dc2,nNn2,nNn练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果ab，那么acbc；（2）如果ab，那么ac2bc2；（3）如果ab，那么anbn(n∈N+)；（4）如果ab,cd，那么a-cb-d。2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。（假命题）（假命题）（真命题）（假命题）解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=200，所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)例2、已知ab0，cd0，求证：abdc例1、求证：如果ab0，cd0，那么acbd。证明：因为ab0,cd0，由不等式的基本性质（3）可得acbc,bcbd，再由不等式的传递性可得acbcbd。练习：如果ab,cd，是否一定能得出acbd？并说明理由。例3、若a、b、x、y∈R，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件()()0xyabxaybxaybC例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若cab0，则（2）若ab,，则a0，b0。abcacb11ab（真命题）（真命题）f(3)的取值范围是[-1,20]例6、已知a0，a2-2ab+c2=0，bca2，试比较a、b、c的大小。解：因为bca20，所以b、c同号；又a2+c2=2ab0，且a0，所以b=且c0。因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0，所以b-c≥0.当b-c0，即bc时，b=得所以a2c+c32a3即a3-c3+a3-a2c0，(a-c)(2a2+ac+c2)0因为a0,b0,c0，所以2a2+ac+c20，故a-c0,即ac.从而acb。当b-c=0，即b=c时，因为bca2，所以b2a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，与前面矛盾，故b≠c.所以acb.220,2aca222,,2acbcaa222,2accaa小结：理解并掌握不等式的六个基本性质作业：课本P10第3题。求证：（1）如果ab,ab0，那么（2）如果ab0，cd0，那么acbd。选做题：设a≥b,c≥d，求证：ac+bd≥(a+b)(c+d)11;ab122、基本不等式定理1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。探究：你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。aabbbAHIDKGBJCFE如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有a2+b2=2ab。定理2（基本不等式）如果a，b0，那么当且仅当a=b时，等号成立。2abab证明：因为=a+b-2≥0，所以a+b≥，上式当且仅当，即a=b时，等号成立。2()abab2abab称为a,b的算术平均称为a，b的几何平均两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。CABDO例3求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值p214sABENMFDCQPHG例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。222221;21128125)()21254)().4babbbbb2补充例题已知a,b(0,+)，且a+b=1，求证：（1）a（）；1（3）（a+；a1（）（a+a课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题5、设a,b∈R+,且a≠b，求证：(1)(2)6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)8abc；（2）a+b+c9、已知x、y∈R,求证：2abba；2ababab.abbcca222().22xyxy小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选做题。3、三个正数的算术-几何平均不等式33,,3abcabcRabcabc定理如果，那么，当且仅当时，等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。212122,,,,,nnnnnaaaaaaaanaa11把基本不等式推广到一般情形：对于n个正数a它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：当且仅当a时，等号成立。211(15)(0)5yxxx例求函数的最值。235252(2)(2),2525120,20,552(2)545[].236752242.515675yxxxxxxxxxxyxxxxmax解：当且仅当，即时，y3max1141514(15)(),4431081.108xxxyxxxy下面的解法对吗？练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。22422222232221sincos2sincoscos212sincoscos4(),232732sincos1sin,sin323.9ymax解：当且仅当即时取等号，此时y2P1115},2.2bh2b课本第题已知a0,b0,且h=min{a,a求证：222222222222222220,0,2,112,,,220h=min{a,},0h=min{a,},12,.22abababababbabababbaabbbababbhaab证明：即a由于从而h13、在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？14、已知球的半径为R，球内球圆柱的底面半径为r，高为h，则r与h为何值时，内接圆柱的体积最大？二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab0和ab0两种情形讨论：（1）当ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）当ab0时，也分为两种情况：如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|Obaxa+b如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b|定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ababOxy探究当向量a,b共线时，有怎样的结论？这个不等式称为绝对值三角不等式。定理1的代数证明：2222220||,||()2||2||||(||||)||||abababababaabbaabbabab证明：当时，222222220,||()2||2||||||2||||(||||)||||,||||||,0abababababaabbaabbaabbababababab当时，所以当且仅当时，等号成立。探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|例1已知ε0，|x-a|ε,|y-b|ε，求证：|2x+3y-2a-3b|5ε.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。yxDyxCyxBmymx.2.2.y-xA.)(,,:的是下列不等式中一定成立若例B例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。练习：课本P20第1、2题1.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|2.用几种方法证明1||2(0)xxxnD.mnC.mnB.mnA.m)(,,,,ba.1:大小关系是之间的则已知补充练习nmbabanbabamDxyDxyCyyxxyxyxyxcoscos.coscos.coscosxB.cosy-A.cosx)()cos(cos),,2(,coscoscoscos,.22可写成则且满足如果实数D________,08,.321221的取值范围则的两个不等实根是方程若rrpxxrr),24(_________12.4的取值范围是则的解集为的不等式若关于aaxxx3a1D.a1C.a7aB.17A.a)(,34.5