全等三角形的专题

-1-全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用（1）倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段（3）角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”。可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。（4）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。(5)角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法：）图形补全：有一个角为60°或120°的，把该角添线后构成等边三角形。-2-一、倍长中线1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，比较BE+CF与EF的大小.二、截长补短3、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。4：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．-3-5、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA三、角平分线造全等6、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA四、“K”字图、弦图、三垂图由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD五、旋转（一）、含半角绕顶点旋转如图，四边形ABCD是正方形，方法：延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）结论：①MN=BM+DN②AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM②翻折：思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=180°且AB=AD）-4-（二）、等腰三角形绕顶点旋转①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA平分∠EOF拓展：条件：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC（8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）②条件：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）、BE=CD（2）BE⊥CD③条件：ABEF和ACHD均为正方形结论：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CF-5-变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，求证：①T为FD的中点.②.ADFABCSS方法一：方法二：方法三：变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC练习巩固1、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.-6-3、已知：如图，ABC是等边三角形，120BDC，求证：ADBDCD.4、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD5、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．