误差理论与数据处理-电子教案

一、误差公理误差：测量和实验所得的数据和被测量真值之差。公理：一切测量存在误差，自始自终存在于一切科学实验中。二、研究误差的意义1、正确认识误差性质，分析产生误差原因，以减少或消除。2、正确处理测量和实验数据，合理计算结果，以得到更接近真值的数据。3、正确组织实验过程，合理设计、选用一起和测量方法，以在最经济条件下，得到最理想结果。4、研究误差可促进理论发展。（如雷莱研究：化学方法、空气分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。）第二节误差基本概念一、误差定义及表示方法（一）定义：被测量的值与真值差异在数值上的表现—误差。误差=测得尺寸—真实尺寸例如：在长度测量中，测量某一尺寸的误差公式可表示为：误差=测得值—真值。（二）误差表示方法（测量误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示）1、绝对误差（测量误差）（absoluteerror）：绝对误差=测得值—真值。方向（+—）、单位、大小。真值：被测量的真实大小。常用实际值代替真值。（真值是一个理想的概念，一般是不知道的，通过测量得到的是真值的近似值，但在某些特定的情况下，真值又是可知的。如理论值—三角形内角之和180度；定义值（按定义人为规定的）—国际千克基准的值可认为是1kg等；实际值—满足规定精确度的用来代替真值的量值。在实际工作中常用到修正值：为减少或消除系统误差一种处理方法。修正值（correction）=真值—测量值=—绝对误差修正结果（correctionresult）是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。例1-1。用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为－5V，则修正后的测量结果为226+(－5V)=221V。（226V—测得值，220V—真值，5V—绝对误差）2、相对误差（relativeerror）：绝对误差绝对误差相对误差真值测量值相对误差：（1）有大小、方向（+—）、无单位。常用%表示。（2）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。[例1-1]用两种方法来测量1100Lmm的尺寸，其测量误差分别为110m，28m，根据绝对误差大小，可知后者的测量精度高。但若用第三种方法测量280Lmm的尺寸，其测量误差为37m，此时用绝对误差就难以评定它与前两种方法精度的高低，必须采用相对误差来评定。第一种方法的相对误差为：0cxxx0xxx21110100.01%100100000mLmm第二种方法的相对误差为：22880.008%100100000mLmm第三种方法的相对误差为：33770.009%8080000mLmm由此可见，第一种方法精度最低，第二种方法精度最高。[例1-2]绝对误差和相对误差的比较用1μm测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差(0.510/m)0.0006mlμm=但用来测量1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。前者的相对误差为：后者的相对误差为：652/10.510/11.110rl用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示值误差=示值—真值引用误差=示值误差/测量范围上限有大小，有方向，无单位，相对量程而言。[例1-3]测量范围上限为19600N的工作测力计（拉力表），在标定示值为14700N处的实际作用力为14778.4N，则此测力计在该刻度点的引用误差为：1470014778.478.40.4%1960019600NNN4、基本误差：仪器仪表在规定的正常工作条件下的最大引用误差。正常条件：如规定的电源电压波动：22010%V。505HgHg环温波动：205摄氏度我国对电工仪表按基本误差分为7个精度等级：0.10.20.51.01.52.55。这里的精度等级是基本误差去掉百分号后的绝对值。记为如基本误差为0.5%。则精度为0.5级。如仪表基本误差为0.9%，则该仪表精度为1。[例]某待测电压90V，变化5V左右，现有0.5级0~300V和1.0级100V电压表各一块，问选用哪块表测得精度高？解：选0.5级测90V时最大相对误差：0.5%300100%1.67%90选1.0级测90V时最大相对误差：1%1001.1%90可见用1.0级好。说明：（1）量程相同的表，精度等级高，测量精度高。量程不同的表，精度等级高，测量精度不见得高。（2）仪表量程选用最好测量值在量程2/3左右为好，能充分发挥仪表精度等级作用。重复性：相同条件下（装置环境、人员、方法）教短时间内对同一量做多次测量其结果的一致性。5、不确定度：是误差大小的测量度，怎样理解以后介绍。641/0.610/0.010.610rl3二、误差来源在测量过程中，按误差产生的原因可归纳为：（一）测量装置误差1、标准量具误差：以固定形式复现标准量具的器具，如氪86灯管、标准量块、标准电池、标准电阻、标准砝码等，它们本身体现的量值，不可避免地都含有误差。2、仪器误差：直接或间接将被测量和已知量进行比较的器具设备，如天平、压力计、温度计等本身都具有误差。3、附件误差：仪器的附件及附属工具，如千分尺的调整量棒等的误差，也会引起测量误差。（二）环境误差测量时各种环境因数与规定的标准状态不一致造成的误差，如温度、湿度、气压、振动、照明、g、电磁场等仪器在规定条件下的误差为基本误差，超出规定条件所增加的误差为附加误差。（三）、方法误差由于测量方法不完善所引起的误差。如测轴周长s，再由sd求直径，取值不同，将会引起误差。（四）、人员误差分辨能力、视觉器官的生理变化、习惯、疏忽等引起的误差。三、误差分类按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差（也称偶然误差）和粗大误差三类。（一）系统误差（systematicerror）：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。系统误差又可按下列分类：1、按对误差掌握的程度分（1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定（2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出误差范围。2、按误差出现规律分（1）不变系统误差：（指绝对值和符号一定）相当于以定系统误差。（2）变化系统误差：（指绝对值和符号为变化）相当于未定系统误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。（二）随机误差（randomerror）在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差—随机误差。如仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接部件的弹性变形等引起的示值不稳定。（三）粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差—粗大误差。又称为疏忽误差、过失误差、寄生误差或简称粗差。如测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）。测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。上述三种误差在一定条件下可以相互转换，特别是系统误差与随机误差之间并没有完全界限。系统误差是一种可知的误差，因而可以修正；随机误差是一种未知的误差，但可以用数据统计处理方法去减小。4第三节精度定义：反映测量结果与真值接近程度的量。与误差的大小相对应，因此可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。精度可分为：（1）准确度：系统误差（2）精密度：随机误差（3）精确度：系统误差和随机。其定量特征可用测量的不确定度（极限误差）来表示。精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为0.0.%，可以说精度为410。准确度、正确度和精密度三者之间的关系：对于具体测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。图1-1a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。第四节有效数字与数据运算测量结果还有误差，测量结果的数据位数应以测量精度为依据。位数超出精度，即费时间又无意义，低于精度，则损失精度。一、有效数字含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非0的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数字，无论0或非0，都是有效数字。例如：3.14第一位有效数字为3，共有3位有效数字。0.0027第一位有效数字为2，共有2位有效数字。0.00270第一位有效数字为2，共有3位有效数字。若近似数右边有若干个0，写成10na110a则a有几个有效数字反映近似数的有效位数。例如：32.400104位有效数字32.40103位有效数字32.4102位有效数字测量结果最末一位有效数字应与测量精度同一量级。5[例]千分尺精度为0.01mm，若测出L=20.531mm，小数点后第2位已不可靠，第三位更不可靠，则L=20.53mm。测量结果应保留的位数原则：最末一位不可靠，倒数第2位应可靠。测量误差取1~2位有效数字。所以20.530.01Lmm。重要测量时。测量结果和测量误差多取一位参考数字，如15.2140.042。二、数字舍入规则（凑整）（1）若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位加1。（2）若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。（3）若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时末位加1。[例]按舍入规则，将下列数据保留4位有效数据进行凑整。原有数据舍入后数据根据规则3.141593.142（1）2.717292.717（2）4.510504.510（3）前3.215503.216（3）后7.6914997.691（2）按上述规定，一次舍入得结果。归纳为：“四舍六六逢五取偶”。数字舍入造成误差，因为（3）从而使舍入误差成为随机误差，避免4舍5入产生的系统误差。三、数据运算规则在有效数据后多保留一位参考（安全）数字。（1）近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数相同。例如2643.0+987.7+4.187+0.2354=？2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.133635.1（2）近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一位，结果位数相同。例如15.134.12=62.335662.3（3）近似平方或开方运算。按乘除运算处理。（4）对数运算。n位有效数字的数据该用n位对数表，或（n+1）位对数表。（5）三角函数。角度误差''10''1''0.1''0.01函数值位数5678第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差在测量误差分类中，已提到系统误差和随机误差是不同性质的误差，因此对它们的处理方法也不同。这一节是在假设粗大误差和系统误差已被排除的前提下来讨论随机误差的。本节介绍随机误差产生的原因，随机误差的本质特征以及减少随机误差的技术途径。本节的重点和难点：随机误差产生的原因随机误差的本质特征6算术平均值贝塞尔公式试验标准差测量结果的最佳估计定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误差。（在等精度测量条件下）一、随机误差产生的原因1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形，零件表面油膜不均匀，摩擦等。2、环境方面：温度、气压、，光照强度、