求数列通项公式必备方法和技巧

-1-/6求数列通项公式的方法和技巧一、已知数列是等差（比）数列,用公式法求通项（基本量法）（1）.等差数列na通项公式：1(1)naand（d为公差）；（2）.等比数列na通项公式：11nnaaq（q为公比）例1、nS为等差数列na的前项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过的最大整数，如0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101bbb，，；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和．例2、已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝anbn，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n-1，求数列{an}的前n项和Sn.变式练习1、设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS．2、等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.3、已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n-14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.-2-/64、设数列{an}满足a1＝0且111111nnaa.(1)求{an}的通项公式；二、已知数列的前n项和Sn或Sn与an的关系求通项公式(公式法)说明：已知na的前n项和ns与na的关系，则先求1a，再由12nnnassn求na或na与其它项的关系，进而转化为等差（比）数列求通项na，并验算此时的na在1n时是否成立。若成立，则通项公式是na，若不成立，则na要用分段函数来表示。例1、已知数列na的前n项和1122nnnSa（*nN），则数列na的通项公式na__________．例2、nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，22nnaa=43nS.（Ⅰ）求{na}的通项公式：（Ⅱ）设11nnnbaa,求数列nb的前n项和变式练习1.{an}的前n项和为Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an=______.2、已知数列{}na的前n项和1nnSa，其中0．（I）证明{}na是等比数列，并求其通项公式；3、已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.(Ⅰ)证明：2nnaa；-3-/6三、累乘法形如an＋1＝anf(n)，求an例1、【2017浙江省温州市高三月考试题】在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式是__________.例2、已知数列{an}满足a1=1且12(1)nnnaan（n≥2），求an。练习1、已知11a，111nnnaan，求na。四、累加法形如an＋1＝an＋f(n)，求an例1、【2017河北省定州中学高三月考】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1nn＋，则数列{an}的通项公式是__________.例2、【2017河南郑州一中高三月考】若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式是_______.练习1、已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为___.2、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图像过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足1an＋1＝f′1an，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；-4-/63、设数列na满足21112,32nnnaaa（1）求数列na的通项公式；（2）令nnbna，求数列的前n项和nS五、构造法形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an例1、数列满足，且，则数列的通项公式=_____________．例2、已知数列na满足123nnaa且11a，,则该数列的通项an=_____.变式练习1、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；2、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…，若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an2，cn＋1＝bn＋an2，则()A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列六、取倒数法形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)-5-/6例1、已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，则数列{an}的通项公式是_________.例2、数列na的前n项和为nS，若11a，131nnaSn，则数列na的通项公式na__________．练习：1、若数列的前项和为，且，则的通项公式是__________．2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝anan＋2(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)1an＋1，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为()A．λ＜2B．λ＞3C．λ＞2D．λ＜33.已知数列{an}满足a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，n∈N*.(1)求证：数列1an－1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且am－1，as－1，at－1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．-6-/6七、两边同除数法形如1()nnapafn（0p且1p）例1、已知12a，1142nnnaa，求na。变式练习1、数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋13n（n≥2），求an。2、已知1111,2,212nnanaan时，求{}na的通项公式。3、设数列｛an｝的前n项和,3,2,1,32313421nnnnaS…。（Ⅰ）求首项a1与通项an；八、取对数法形如1rnnapa(p、r为常数，0,0,0npra)的数列，可两边取对数法求na。思路：对递推式两边取对数得1logloglogmnmnmarap，令lognmnba，.....例1、若{}na中，2*113,nnaaanN，则na=。变式练习1、已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列{an}满足an+1=2f(an﹣1)+1，且a1=5，又设bn=log2(an﹣1)。（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．