河南省2020年中考数学压轴题全揭秘专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识(含解析)

专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A字形（手拉手）及其旋转模型二、K字型及其旋转【例1】（2019·济源一模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=23，BE=219，请直接写出四边形ADPE的面积．ABCDEABCDEABCDEADCEBDCEBAADCEB图1图2图3图4【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∵∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∵△BAP≌△CAE，∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠CAD=60°，∴∠ACE+∠CAD=90°，即CD⊥AD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC，设CE与AD交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAH=60°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；（3）连接AC交BD于O，连接CE，由（2）知，CE⊥BC，∵AB=23，BE=219，在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，由△BAP≌△CAE，得：BP=CE，BD=6，∴DP=BP－BD=2，AO=3，在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=27，∴S=S△ADP+S△APE=213232724=83.【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=42，当BM=_________时，BP的最大值为__________．图1图2图3【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2，1.【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN，∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.图1CBAMNABC图2图3CBAMNP（2）BN⊥AM，BN=AM；理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°，同理，∠NCM=90°，NC=MC,∴∠ACM=∠BCN，∴△ACM≌△BCN，∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.(3)过C作CG⊥BC交BA的延长线于G，过C作CH⊥AB于H，如图所示，易证△GCM≌△BCN，由（2）知，BN⊥AB，∴△CHM∽△MBP，∴CHHMBMBP,即44BMBMBP,设BM=x，则BP=21214x，∴当BM=2时，BP取最小值，最小值为1.ABCMNGBCMNPAH【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，由题意知：DE=CF，∴△ADE≌△DCF，∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°﹣90°=90°，∴AE⊥DF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD=2或2，理由如下：①如图，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=2a，则CE：CD=2a：a=2；②如图，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=2a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，∴DE=CD=a，∴CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD=2或2；（3）∵点P在运动中∠APD=90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC=5，∴CP=QC+QP=5+1，即线段CP的最大值是5+1．【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．图1图2图3【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（3）成立．由上可证：△CBF≌△DCE，得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG∴∠DEC+∠CEG=90°∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°α180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.【分析】（1）①由△ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∠BAC+∠B’AC’=180°，得∠B’=∠C’=30°，即BC=2AD；②可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，证得△ABC≌△B’AM，得BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∵DB’=DC’，∴AD⊥B’C’，∵BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=120°，∴∠B’=∠C’=30°，∴BC=2AD，即：答案为BC=2AD.②∵∠BAC=90°，BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=∠BAC=90°∵AB=AB’，AC=AC’，∴△BAC≌△B’AC’，∴BC=B’C’，∵B’D=DC’，∴BC=2AD，∵BC=8，∴AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，∵AD=DM，B’D=DC’，∴四边形AC’MB’是平行四边形，∴AC’=B’M=AC，∵∠BAC+∠B’AC’=180°，∠AB’M+∠B’AC’=180°，∴∠BAC=∠AB’M，∵AB=AB’，∴△BAC≌△AB’M，∴BC=AM，即BC=2AD.2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=22，直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FD⊥FC，理由如下：由题意知：∠ADE=∠ACE=90°，AF=EF，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2（∠FAD+∠FAC）=90°，∴FD=FC，FD⊥FC.（2）结论不变，理由如下：延长AC至M使得CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，∵BC⊥AM，AC=CM，∴AB=BM，同理得：BE=BN，∵∠ABM=∠EBN，∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM，CF∥EM，同理，FD=12AN，FD∥AN，∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，即AN⊥MH，∴FD⊥FC.（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示，此时BF=32，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，此时，BF=2，∴2≤BF≤32.3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图1，在等腰直角三角