广州中考数学专题复习：定值和极值问题

1初三数学讲义定值问题一．课堂衔接1.课前交流，帮助整理知识点。2.复习旧知，课前练习。二．知识点归纳整理1.几何定值问题(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。(2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。2.函数与几何综合类的问题中求定值(1).乘积、比值类型(2).定长、定角、定点、定值类型(3).倒数和类型解题步骤(1)利用特殊情形猜出定值(2)对一般情形加以证明．三．例题分析几何图形中定值问题例1.已知ABC的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E，求证：ADDCAEEB为定值。AEDMNPBC2例2.两圆相交于P、Q两点，过点P任作两直线AA'与BB'交一圆于A、B，交另一圆于A'、B'，AB与AB''交于点C，求证：C为定值。QOO'AA'(B)P(')BCQA'BPAB'C例3.在定角XOY的角平分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与OX相交，靠近O点的交点为A，与OY相交，远离O点的交点为B，则APB为定角。XMAPONBY(1)X(A)POY(2)乘积、比值类型例题1．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC＋EC)为定值．xQPFEDCBAO3定长、定角、定点、定值类型例题2．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线错误!未找到引用源。=12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，且tan∠DEO错误!未找到引用源。12．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．例题3．已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．例题4．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标．．．；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．4倒数和类型例题5．已知菱形ABCD边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM＋1DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。练习一.几何定值问题1.求证：正三角形内一点到三边距离之和为定值。2.在正方形ABCD的外接圆的AD上任取一点P，则(PC＋PA)：PB为定值。3.已知CD是半径为R的⊙O的直径，AB是动弦，AB与CD相交于E，且成45角，求证：AEBE22为定值。ACOEDBADFPBECDPEACB54．（2011•遵义）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0＜t＜10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．5．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218错误!未找到引用源。；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．考点：二次函数综合题。分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）①当x=1时，y=1－t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，②由S=S四边形AMNP－S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案．6练习4.解答：解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，∴DQ=t，PC=20﹣2t，∵若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC，∴20﹣2t=t，解得：t=203；（2）线段PH的长不变，∵AD∥BH，P、Q两点的速度比为2：1，∴QD：BP=1：2，∴QE：EP=ED：BE=1：2，∵EF∥BH，∴ED：DB=EF：BC=1：3，∵BC=20，∴EF=203，∴EFPH：QEQP=错误!未找到引用源。，∴PH=20cm．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ和PC的长度表达式，推出DQ和PC的长度比为1：2．练习5.解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=－t；（2）①不变．如图6，当x=1时，y=1－t，故M（1，1－t），∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°；②S=S四边形AMNP－S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM－S△PAM=错误!未找到引用源。（t－4）（4t－16）+错误!未找到引用源。[（4t－16）+（t－1）]×3－错误!未找到引用源。（t－1）（t－1）=32错误!未找到引用源。t2－152t+6．解错误!未找到引用源。t2－错误!未找到引用源。t+6=错误!未找到引用源。，得：t1=错误!未找到引用源。，t2=错误!未找到引用源。，∵4＜t＜5，∴t1=错误!未找到引用源。舍去，∴t=92（3）72＜t＜113．点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．7例题2考点：一次函数综合题。分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（－3，0），（0，1），∴B（－3，1），若直线经过点A（－3，0）时，则b=32错误!未找到引用源。，若直线经过点B（－3，1）时，则b=52错误!未找到引用源。，若直线经过点C（0，1）时，则b=1，①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32错误!未找到引用源。，如图1，此时E（2b，0），∴S=12OE•CO=12×2b×1=b；②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32错误!未找到引用源。＜b＜52，如图2此时E（－3，b－32），D（2b﹣2，1），∴S=S矩－（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3－[12错误!未找到引用源。（2b－2）×1+12错误!未找到引用源。×（5－2b）•（52－b）+12×3（b－32错误!未找到引用源。）]=52错误!未找到引用源。b－b2，∴S=)2523(2523221bbbbb错误!未找到引用源。；（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形，根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，错误!未找到引用源。=12错误!未找到引用源。，DH=1，∴HE=2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2－a）2+12，∴a=54错误!未找到引用源。，∴S四边形DNEM=NE•DH=54错误!未找到引用源。．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54错误!未找到引用源。．例题38考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=a＋b＋1，推出b=－1－a，求出方程ax2＋bx＋1=0，的b2－4ac的值即可；（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a＋b=错误!未找到引用源。，ab=错误!未找到引用源。，求出AB=错误!未找到引用源。，把y=1代入抛物线得到方程ax2＋（－1－a）x＋1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出错误!未找到引用源。=错误!未找到