微分中值定理课件

第五章微分中值定理及其应用•第一节微分中值定理•第二节L’Hospital法则•第三节Taylor公式与插值多项式•第四节函数的Taylor公式及其应用•第五节应用举例•第六节方程的近似求解第一节微分中值定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理五、应用及小结罗尔拉格朗日柯西一、函数极值与Fermart引理引子ab12Cxyo)(xfyAB几何解释:.,,)\(线是水平的在该点处的切至少有一点上则弧点的纵坐标相等且两端除外端点切线轴的上处处具有不垂直于在弧若连续曲线CABBAxABxfy即:如果记C点的横坐标为,那么就有:0f通常称导数等于零的点为函数的驻点（或称为稳定点，临界点）一、函数极值与Fermart引理罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f)1()2()3(例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf二、Rolle（罗尔）定理(定理5.1.2)证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在0:,,,fFermatfxfbaxM必有定理知由恒有为最大值注意（1）：罗尔定理的条件是充分的，并且任缺一，则不能保证结论成立注意（2）：罗尔定理的条件是非必要的，缺条件时，甚至三条都不满足时,结论也可能成立。请自己举例。x1yox1yo1x1yo例.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由介值定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的小于1的一个正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf使得之间在至少存在一个),,(10xx.0)(f)1(5)(4xxf但))1,0((,0x矛盾,.0为唯一实根x返回ab12Cxyo)(xfyAB三、拉格朗日(Lagrange)中值定理ab12xoy)(xfyABC.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.)1()2().()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成拉格朗日中值定理(定理5.1.3)ab12xxoy)(xfyABCDNM分析:.,,),()(应用罗尔定理对然后再足条件满使个辅助函数设法构造一差条件中与罗尔定理相xbaxxbfaf弦AB方程为).()()()(axabafbfafy曲线AB方程为)(xfyab12xxoy)(xfyABCDNM:),(,,)(则曲线方程为设为得到曲线减去弦曲线xabABxf，)]()()()([)()(axabafbfafxfxy容易看出:，即数值相等处的函在端点函数0)()(:,)()1babax上连续，函数在],[)2ba.),()3内可导函数在ba证明:作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfx,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba0)()()(abafbf即).)(()()(abfafbf拉格朗日中值公式,),()(内可导在设baxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理注意:拉氏公式“精确”表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF)()()(bfaf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上连续的条件；],[,1)(2baxxxf且0ab不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.返回拉格朗日［Lagrange,JosephLouis］（1736---1813）法国数学家、力学家及天文学家。拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题「等周问题」之过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会之工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题［木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：「欧洲最大的王」之宫廷内应有「欧洲最大的数学家」，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学著作《分析力学》［1788］。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当地逝世。拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，且还推动了代数学之发展。他在生前提交给柏林科学院的两篇著名论文：《关于解数值方程》［1767］及《关于方程的代数解法的研究》［1771］中，考察了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次之方程［辅助方程或预解式］以求解。但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。返回柯西AugustinLouisCauchy(1789-1857)法国数学家。（1789、8、21—1857、5、23）他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。1816年取得教授职位，同年，被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育，1838年回到巴黎，继任巴黎综合工科学校教授，并恢复了在科学院的活动。1848年任巴黎大学教授。柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域。返回罗尔Rolle,Michel(1652-1791)罗尔在微积分初创阶段作出了贡献。1690年他在《任意次方程的一个解法》一文中，给出了著名的罗尔定理（但没有证明），这个定理在微积分理论中占有重要的地位。他还提出了寻求代数方程实根上界的法则，但是这个法则却被称为马克劳林法则。此外，他对笛卡儿的分析与莱布尼兹的无穷小研究进行了评论。尽管他的批评不见得有理有据，但却促使莱布尼兹对分析的理论基础的关注。另外罗尔对含有两个变量的不定方程的整数解问题，也进行了研究。返回机动目录上页下页返回结束第二节L’HospitaL法则微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束例1.求解:原式lim1x型00266lim1xxx23注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232xx机动目录上页下页返回结束例2.求解:原式limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考:如何求nnn12arctanlim(n为正整数)?型机动目录上页下页返回结束例3.求解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式0xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.)0,0(limnexxnx型机动目录上页下页返回结束例4.求.)0,0(limnexxnx(2)n不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则kx1kx存在正整数k,使当x1时,机动目录上页下页返回结束.)0(0lnlimnxxnx例3.例4..)0,0(0limnexxnx说明:1)例3,例4表明x时,,lnx后者比前者趋于更快.例如,而)0(xe用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.机动目录上页下页返回结束3)若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1(limxxx1机动目录上页下页返回结束二、其他未定式:解决方法:通分转化000取倒数转化0010取对数转化例5.求).0(lnlim0nxxnx型0解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx机动目录上页下页返回结束型.)tan(seclim2xxx解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2例6.求机动目录上页下页返回结束通分转化000取倒数转化0010取对数转化例7.求.lim0xxx型00解:xxx0limxxxeln0lim0e1利用例5例5目录上页下页返回结束通分转化000取倒数转化0010取对数转化例8.求机动目录上页下页返回结束nnnneln11例9.求.)1(limnnnn分析:为用洛必达法则,必须改求.)1(lim121xxxx法1用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁!21limnn法2)1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0～u1ue原式例3目录上页下页返回结束内容小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfgg