简单线性规划

典型例题一例1画出不等式组.0330402yxyxyx，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把0x，0y代入2yx中得0200∴不等式02yx表示直线02yx下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．典型例题二例2画出332yx表示的区域，并求所有的正整数解),(yx．分析：原不等式等价于.3,32yxy而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求.3,32,,,0,0yxyzyzxyx．解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332yx表示的区域如下图：对于332yx的正整数解，先画出不等式组．.3,32,,,0,0yxyzyzxyx所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．典型例题三例3求不等式组111xyxy所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11xy可化为)1(xxy或)1(2xxy；不等式1xy可化为)0(1xxy或)0(1xxy．在平面直角坐标系内作出四条射线)1(xxyAB：，)1(2xxyAC：)0(1xxyDE：，)0(1xxyDF：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．典型例题四例1若x、y满足条件.0104010230122yxyxyx，，求yxz2的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线zyxl2:，即zxy2121，它表示斜率为21，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值．∴18822maxz∴2222minz说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．典型例题五例5用不等式表示以)4,1(A，)0,3(B，)2,2(C为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线AB的斜率为：1)3(104ABk，其方程为3xy．可求得直线BC的方程为62xy．直线AC的方程为22xy．ABC的内部在不等式03yx所表示平面区域内，同时在不等式062yx所表示的平面区域内，同时又在不等式022yx所表示的平面区域内（如图）．所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组022,062,03yxyxyx表示．说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．典型例题六例6已知05yx，010yx．求22yx的最大、最小值．分析：令22yxz，目标函数是非线性的．而22222yxyxz可看做区域内的点到原点距离的平方．问题转化为点到直线的距离问题．解：由,010,05yxyx得可行域(如图所示)为22222yxyxz，而)0,0(到05yx，010yx的距离分别为25和210．所以z的最大、最小值分别是50和225．说明：题目中的目标函数是非线性的．解决的方法类似于线性规划问题．可做出图，利用图进行直观的分析．典型例题七例7设yxz57式中的变量x、y满足下列条件.**,,023,02034NyNxyxyx求z的最大值．分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的*Nyx、，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线057yx平等的直线再进行观察．解：作出直线020341yxl：和直线0232yxl：，得可行域如图所示．解方程组02302034yxyx得交点)54,522(A．又作直线057yxl：，平等移动过点A时，yx57取最大值，然而点A不是整数点，故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为543457yx，应考虑可行域中距离直线543457yx最近的整点，即)4,2(B，有344527)(Bz，应注意不是找距点A最近的整点，如点)1,4(C为可行域中距A最近的整点，但331547)(Cz，它小于)(Bz，故z的最大值为34．说明：解决这类题的关键是在可行域内找准整点．若将线性目标函数改为非线性目标函数呢？典型例题八例8设22yxz，式中的变量x、y满足.1,2553,34xyxyx试求z的最大值、最小值．分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数22yxz应理解为可行域中的点与坐标原点的距离的平方．解：作出直线0341yxl：，025532yxl：，13xl：得到如图所示的可行域．由02553034yxyx得)2,5(A由1034xyx得)1,1(C由102553xyx得)522,1(B．由图可知：当),(yx为点)1,1(C时，z取最小值为2；当),(yx为点)2,5(A时，z取最大值29．说明：若将该题中的目标函数改为yxz，如何来求z的最大值、最小值呢？请自己探求．（将目标函数理解为点),(yx与点)0,0(边线的斜率）典型例题九例9设0x，0y，0z；zyxp23，zyxq42，1zyx，用图表示出点),(qp的范围．分析：题目中的p，q与x，y，z是线性关系．可借助于x，y，z的范围确定),(qp的范围．解：由,1,42,23zyxqzyxpzyx得),345(271),3514(271),68(271qpzpqypqx由0x，0y，0z得,0543,01453,086qpqpqp做出不等式所示平面区域如图所示．说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x，y，z的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出x，y，z，从而求出p，q所满足的不等式组找出),(qp的范围．典型例题十例10某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．分析：找约束条件，建立目标函数．解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件0090031800457202yxyxyxyx下，求目标函数yxz5040的最大值，作出可行域，其边界0:yOA09003:yxAB0180045:yxBC07202:yxCD0:xDO由yxz5040得5054zxy，它表示斜率为54，截距为50z的平行直线系，50z越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值．解方程组3001201800457202，Cyxyx∴198003005012040maxz即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19800元．说明：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究．典型例题十一例11甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A和63000单位维生素B．（1）用x、y表示混合物成本C．（2）确定x、y、z的值，使成本最低．分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解．解：（1）依题意：x、y、z满足yxzzyx100100∴成本400574911yxzyxC（元）（2）依题意6300050040080056000400700600zyxzyx∵yxz100∴00130316032yxyxyx，作出不等式组所对应的可行域，如图所示．联立2050160321303，交点Ayxyx作直线Cyx40057则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过2050，A时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋400＝C＝850元∴50x千克，30z千克时成本最低．典型例题十二例12某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品1t需煤9t，电力4kW，劳力3个（按工作日计算）；生产乙产品1t需煤4t，电力5kW，劳力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤最不得超过300吨，电力不得超过200kW，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少t，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富．分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为xt和yt，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题．解：设每天生产甲产品xt，乙产品yt，总产值St，依题意约束条件为：.300103,20054,30049,15,15yxyxyxyx目标函数为yxS127．约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴影部分)．现在就要在可行域上找出使yxS127取最大值的点),(yx．作直线yxS127，随着S取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为12S，可以看出，当直线的纵截距越大，S值也越大．从图中可以看出，当直线yxS127经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．解方程组,0300103,020054yxyx得)24,20(A．故当20x，24y时，4282412207最大值S(万元)．答：第天生产甲产品20t，乙产品24t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元．说明：解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用S的几何意义，求出最优解．如本例中，12S是目标函数yxS127的纵截距．典型例题十三例13有一批钢管，长度都是4000mm，要截成