数学分析课件汇总

第四章实数的连续性§4.1实数连续性定理§4.2闭区间连续函数整体性质的证明数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理闭区间套定理定理1：(闭区间套定理)若有闭区间列,,nnba且：⑴nnbababa,,,2211⑵0limnnnab则存在唯一数1,nnnlbal即属于所有的闭区间，且lbannnnlimlim.数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理证：由条件⑴知：1221bbbaaann，即的数列，是单调增加有上界1ban的数列。是单调减少有下界1abn根据公理：收敛。收敛，nnba设,limlann由⑵知：0limlimlimnnnnnnnabab即：lbannnnlimlim数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理对任意取定的k，单调减少，单调增加，，nnban于是：knnnnkbblaalimlim即：,kkbla即l属于所有的闭区间。证明l是唯一性，应用反证法。假设还有ll也属于所有的闭区间，从而对任意nnnnabllballNn0,,,,有有.根据极限的不等式性质有：0limllabnnn，与条件⑵矛盾，所以l是唯一的。□数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理在什么情况下应用闭区间套定理？一般来说，证明某定理需要找到具有某种性质P的一个数，常常应用闭区间套定理将这个数“套”。怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的数。数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理确界定理设，数集，若E有下列性质：⑴.xEx⑵.,,000xEx则称是数集E的上确界，表为Esup.上确界定义：下确界定义：设E，有下列性质：若,⑴xE⑵00,0xEx则称是数集E的下确界，表为Einf.数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理有限数集必存在上,下确界:它的上,下确界分别就是有限数集的最大数和最小数.若无限数集存在上(下)确界,它的上(下)确界也可能不属于该数集11sup:Nnnn例如定理2：(确界定理)若非空数集E有上界(下界),则数集E存在唯一的上确界(下确界).数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理有限覆盖定理若,Ix开区间集S至少存在一个开区间S，使,x则称开区间集S覆盖了区间I。定义：例如：若I=（0，1），NnnS1,11，事实上，,1,11,11,,1,0SmxxmNmx有使例：,1,11),1,0(NnnnSI则S没有覆盖区间I.事实上，),1,0(1,1,nnNnS中没有开区间包含着n1.数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理定理3：(有限覆盖定理)若开区间集S覆盖了闭区间[a,b]，则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间[a,b].一般来说，如果我们已知在闭区间[a,b]上每一点的某个邻域内都具有性质P，每一点的邻域（开区间）集覆盖了[a,b]，为了将性质P扩充到整个闭区间[a,b]上，这时，可用有限覆盖定理，将覆盖[a,b]的无限个邻域换成有限个邻域。数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理聚点定理设E是数轴上的无限点集，是一个定点,EE或若点的任意领域内都含有E的无限多个点，则称点是点集E的聚点。定义：例：NnnA1，有一个聚点0，11nnBn有两个聚点1与-1，I=（0，1）的聚点组成闭区间[0，1]，注：有限点集没有聚点数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理定理4：(聚点原理)数轴上有界无限点集E至少有一个聚点。定义：设E是数轴上的点集，是一个定点，若点的任意邻域内都含有E的不同于的一点，则称点是点集E的聚点。数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理柯西收敛准则致密性定理定理5：(致密性定理)定理6：(柯西收敛准则)nakna有界数列必有收敛的子数列.数列na收敛,,,,0NmnNmnaa数学分析课件数学分析课程组§4.1实数连续性定理总结：以上六个定理，是从应用公理证明了闭区间套定理，然后用前一个为条件，证明了后面一个定理，它们依次是：确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收剑准则的充分性，最后再应用柯西准则的充分性证明公理，这样这些的证明构成了封闭循环。因此，它们是待等价的，互为充要条件，它们都刻画了实数集的连续性，它们构成了数学分析的理论基础，舍此不能得证，特别是柯西收剑准则又称完备性，它对数学分析的发展起着重要作用。数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明性质的证明若函数()fx在闭区间,ab连续，则函数()fx在,ab有界，即0,,||MxabfxM。※定理1（有界性）证法：由已知条件得到函数)(xf在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数)(xf在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M0.数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明证明：已知函数)(xf在[a,b]连续，根据连续定义，a[a,b]，取0=1，00,x(00,aa)[a,b],有|)(xf)(af|1.从而x(00,aa)[a,b]有|)(xf|≤|)(xf)(af|+|)(|af|)(|af+1即a[a,b]，函数)(xf在开区间(00,aa)有界。显然开区间集{(00,aa)|a[a,b]}覆盖闭区间[a,b].数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n个开区间{（kkakakaa,）|ka[a,b]}，k=1,2,3,…,n也覆盖闭区间[a,b]，且x（kkakakaa,）|ka[a,b]，有|)(xf|≤|)(|kaf+1，k=1,2,3,…,n取M=max{|)(||,......,)(||,)(|21nafafaf}+1.于是x[a,b]，i{1，2,…，n},且x（iiaiaiaa,）[a,b]，有|)(xf|≤|)(|iaf+1≤M数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明※定理5（最值性）若函数()fx在闭区间,ab连续，则函数()fx在区间能取到最小值m与最大值M，即：12,,xxab使：1fxm与2fxM，,xabmfxM。数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明证明：根据定理1，数集|,fxxab有界。设：sup|,fxxabM用反证法：假使,xab有()fxM,显然，0Mfx(,xab)，且Mfx在,ab连续，于是函数1Mfx在,ab连续，根据定理1，函数1Mfx在,ab有界，即：0c，,xab1cMfx，或，1fxMc由上确界的定义知：M不是数集|,fxxab的上确界，矛盾，于是2,xab，使2fxM。数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明※定理3：零点定理设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(ab)内至少一点使f()0证明：不妨设)(af0，)(bf0.用反证法，假设x[a,b]，有)(xf≠0，将闭区间],[ba二等分，分点为2ba.已知)2(baf≠0，如果)2(baf0,则函数)(xf在闭区间]2,[baa的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(baf0,则函数)(xf在闭区间[2ba,b]的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,[baa与[2ba,b]必有一个使函数)(xf在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,ba]，有)()(11bfaf0，数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明再将[11,ba]二等分，必有一个闭区间，函数)(xf在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[22,ba]，有)()(22bfaf0，用二分法无限进行下去，得到闭区间{[nnba,]}（bbaa00,），且1）[a,b][11,ba]…[nnba,]……;2))(limnnnab=nnab2lim=0对每个闭区间[nnba,]，有)()(nnbfaf0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c属于所有的闭区间，且nnalim=nnblim=c（1）数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明而c[a,b]，且)(cf≠0，设)(cf0.一方面，已知函数)(xf在c连续，根据连续函数的保号性，0,x:|cx|,即x),(cc，有)(xf0;另一方面，由（1）式，当n充分大时，有[nnba,]),(cc，已知)()(nnbfaf0，即函数)(xf在),(cc中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(cf≯0.同法可证)(cf≮0.所以闭区间[nnba,]内至少存在一点c,使)(cf=0.数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明一致连续性设函数fx定义在区间上，若0,0，1x，2xI：12||xx12||fxfx，则称函数fx在区间I上一致连续（均匀连续）定义：非一致连续（fx在I）定义：00，0，1x，2xI：12||xx12||fxfx0数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明一致连续。在证明：函数例R)sin()(2xxf.Rsin)(|sinsin|,|:|,0,,0|||2sin||2cos|2|sinsin|,,,02121212121212121一致连续在即函数有，于是，成立。取要使不等式证明：xxfxxxxRxxxxxxxxxxRxx数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明※定理4（一致连续性）若fx在,ab连续，则fx在,ab一致连续。证法：应用反证法与致密性定理证明：假设函数)(xf在[a,b]非一致连续，即00，0，'x，x[a,b]：|'xx|,有|)('xf)(xf|≥0.取=1，'x，x[a,b]：|'xx|1，有|)('xf)(xf|≥0.数学分析课件数学分析课程组§4.2闭区间连续函数整体性质的证明取=21，'x，x[a,b]：|'xx|21，有|)('xf)(xf|≥0.…取=n1，'x，x[a,b]：|'xx|n1，有|)('xf)(xf|≥0.…这样的闭区间[a,b]构造两个有界数列{'nx}与{nx}根据致密定理（4.1