数学模型与数学建模4.4-差分方程模型

4.4差分方程模型在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，这些模型往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。本节主要介绍几种常见的差分方程模型，即蛛网模型、减肥模型和差分形式的人口模型。4.4.1差分方程及其平衡点的稳定性以表示时间，规定只取非负整数。表示第一期初，表示第二周期初等等。记为变量在时刻时的取值，则称为的一阶差分，称为的二阶差分。类似地，可以定义的阶差分。tt0t1ttyyttttyyy1ty2121()2tttttttyyyyyyytytyntny由、及的差分给出的方程称为差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程也可改写成。ttytytyty02tttyyy012tttyyy满足差分方程的序列称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，则称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。例如，考察二阶差分方程：。显然与均是它的特解，而则为它的通解，其中，为ty02ttyysin/2tytcos/2tyt12sin/2cos/2tyctct1c2c任意常数。类似于微分方程，称差分方程（4.4.1）为阶线性差分方程，当时称其为阶非齐次线性差分方程，而（4.4.2）称为方程（4.4.1）对应的齐次线性差分方程。011()()()()tntnntatyatyatybtn0)(tbn011()()()0tntnntatyatyaty若（4.4.1）中所有的均为与无关的常数，则称其为常系数差分方程，即阶常系数线性差分方程可写成（4.4.3）其对应的齐次方程为（4.4.4）()iattn011()tntnntayayaybt0110tntnntayayay在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。下面主要介绍常见的几类差分方程平衡点及其稳定性判别方法。（1）一阶线性常系数差分方程（4.4.5）,2,1,0,1kbaxxkk在式（4.4.5）中令得到的代数方程，称该方程的根称为差分方程（4.4.5）的平衡点。如果时，则称平衡点是稳定的，否则是不稳定的。由式（4.4.5）得:（4.4.6）xxxkk1baxx/(1)xbakxxkx0()1()1,1,2,kkkxaxbaak即方程（4.4.5）的解可表为（4.4.7）其中由初始值确定。显然，由式（4.4.7）可知差分方程（4.4.5）的平衡点稳定的充要条件是（4.4.8）()1,1,2,kkxcabakc0x||1a一般地，对于维向量和阶常数矩阵构成的方程组（4.4.9）其平衡点稳定的条件是的特征根（）均有（4.4.10）即特征值均在复平面上的单位圆内，这个结果可由将化为对角阵（或Jordan矩阵）得到。n()kxnnA(1)()0kkxAxAini,,2,11||iA（2）二阶线性常系数差分方程（4.4.11）该差分方程的平衡点为，设特征方程的根为和，则不难验证，方程（4.4.11）的通解可表示为（4.4.12）02112kkkxaxax0x0212aa12kkkccx2211其中常数，由初始条件，确定。由式（4.4.12）知，当且仅当且时方程（4.4.11）的平衡点才是稳定的。（3）非齐次线性差分方程（4.4.13）方程（4.4.13）的平衡点的稳定性和方程（4.4.11）相同。1c2c0x1x1||11||2bxaxaxkkk2112二阶方程的上述结果可以推广到阶线性方程，即稳定平衡点的条件是次代数方程的根满足（）。（4）一阶非线性差分方程（4.4.14）方程（4.4.14）的平衡点由代数方程解出。为分析的稳定性，将方程（4.4.14）的右nni1||ini,,2,1)(1kkxfxx)(xfxx端在点作Taylor展开，只取一次项，式（4.4.14）近似为（4.4.15）则（4.4.15）是（4.4.14）的近似线性方程，也是（4.4.15）的平衡点。关于线性方程（4.4.15）的稳定平衡点的讨论已由（4.4.5）—（4.4.8）给出，而当时方程（4.4.14）与（4.4.15）平衡点的稳定性相同。x)())((1xfxxxfxkkx1|)(|xf于是得到当时，非线性方程（4.4.14）的平衡点是稳定的；当时，非线性方程（4.4.14）的平衡点是不稳定的。1|)(|xfx1|)(|xfx4.4.2个人住房贷款模型个人住房贷款是指银行向借款人发放的用于购买自用新建住房的贷款，也称为个人住房按揭贷款。银行发放的个人住房按揭贷款数额，不高于房地产评估机构评估的拟购买住房的价值或实际购房费用总额的80%（以二者低者为准）。银行对于住房按揭贷款每月还款金额都有一套公式，但对于具体计算方法银行方面却很少给予详细的解释，所以很多人脑中都是一本糊涂账。目前商业银行常见的还款方式主要有等额本金还款法、等额本息还款法、双月供、到期一次还本付息等。等额本金还款法是将借款总额按还款期数平均分配，每期归还本金数不变；等额本息还款法是指借款人每月以相等的金额偿还贷款，每月还款金额包括本月应还的本金和利息，在借款截止日期前全部还清本息。目前，个人住房按揭贷款绝大多数采用等额本金或等额本息还款法因此本节也主要针对这两种还款方式进行讨论。贷款年限：各个银行之间差别不大，最长期限为30年，每月还款一次。如贷款期限30年，每月还款一次，总共可分为360期进行分期还款。贷款利率：分为月利率和年利率，月利率=年利率。个人住房贷款利率按照中国人民银行有关规定执行。根据中国人民银行2012年7月6日起执行12的贷款基准利率（见表4.4.1），5年以上的商业贷款基准年利率是6.40%，则相应的月利率为5.33‰。贷款期间如遇中国人民银行调整利率，则贷款利率作相应调整。已发放的贷款，当年内不作调整，调整时间为下年度的1月1日，按照各档次利率执行新的利率规定。表4.4.12012年7月6日起执行的贷款基准利率每月还款金额：包括本金与当月利息，而当月的利息是上个月的剩余本金在本月内所产生的利息。贷款期限年利率（%）六个月以内（含六个月）5.60六个月至一年（含一年）6.00一至三年（含三年）6.15三至五年（含五年）6.40五年以上6.55模型1.等额本金还款模型等额本金还款法，又称利随本清法、等本不等息还款法，就是借款人将贷款额平均分摊到整个还款期内，每期（月）归还，同时付清自上一个还款日至本次还款间的贷款余额所产生的利息的一种还款方式。设贷款额度为，月利率为，贷款期数（月）为Arn第期（月）应还款金额为，总利息为，第期的利息为，第期的应还本金为。因为当月本金还款额=贷款本金/贷款期数（月数），即，则第期应还款额相对于第期而言，应减少了，即有差分方程(4.4.16)ttyRttRttS/tSAnt1t/Arn1ttyyAnr模型（4.4.16）为一阶线性常系数差分方程，其通解为（4.4.17）也就是说，当月应还款额=每月还款本金+当月利息每月还款本金+剩余未还本金*月利率=应还本金+(贷款本金-已还期数*每月还款本金)*月利率.（4.4.18）1tyAnAtnAr1tRAtnAr而总利息（4.4.19）等额本金还款法的优点在于不会产生所谓的复利，因为每个月本金所产生的利息均在下个月的还款日内全部偿还，但是由于一开始本金比较大，使得每个月的利息也很高，因此在还款初期每月所需要偿还的数额较大，但到后期随着本金减少，每期利息也随之减少，还款金额也将逐渐减少。111(1)2nntttRRAtnArArn模型2.等额本息还款模型等额本息还款法是指借款人每月以相等的金额偿还贷款本息，每月还款金额包括本月应还的本金和利息，在借款截止日期前全部还清本息，但每月利息和本金所占的比例不同。由于每月还款额相同，显得相对简单、干脆，因此目前大部分借款人都采用这种还款方式。仍然设贷款额度为，月利率为，贷款期数为，总利息为，第期的利息为，另外用表示第期尚欠银行的贷款额，第期应还本金为，用表示每期还款额，则第期尚欠银行的贷款额到一个月后的本息之和为，则第期仍欠银行的贷款额为（4.4.20）ArnRttRtAtttSyt(1)tAr1t1(1)ttAAry该模型为一阶线性常系数非齐次差分方程，因为，所以可求解该差分方程，得到（4.4.21）将代入上式，得到每期本息还款额为（4.4.22）0nA1(1)(1)tntAyrrr0AA(1)(1)1nnyArrr将式（4.4.22）代入式（4.4.21），得到（4.4.23）则第期的利息为（4.4.24）且总利息=总还款额-总贷款额（4.4.25）(1)(1)(1)1ntntAArrrt(1)(1)(1)1ntnttRArArrrr(1)(1)1(1)(1)1(1)1nnnnnyAnArrrAAnrrr而（4.4.26）可以看出，按照银行现行制度规定，等额本息还款法以复利方式计息，即所谓的“利滚利”，且银行在每月的还款额中，是先收取利息后收取本金的。等额本息法的特点是在整个还款期内，每个月的还款额保持不变（遇调整利率除外），优点在于借款(1)(1)1tnttSyRArrr人可以准确掌握每月的还款额，容易记忆，省去许多麻烦。下面以借款人王先生的贷款信息来说明两种还款方法的差异性。王先生于2008年12月向银行申请了一笔住房贷款，贷款总额为30万元，贷款期限为30年（共360个月），年利率为5.94%，则相应的月利率为‰。采用等额本息还款法和等额本金还款法，计算结果如表4.4.2所示。4.95r表4.4.2两种还款方法的还款结果（单位：元）月份等额本息还款法等额本金还款法月还款额第i月归还利息第i月归还本金月还款额第i月归还利息第i月归还本金11787.101485.00302.102318.331485.00833.3321787.101483.50303.592314.211480.88833.3331787.101482.00305.092310.081476.75833.3341787.101480.49306.602305.961472.63833.3351787.101478.97308.122301.831468.50833.33…………………3591787.1017.561769.53841.588.25833.333601787.108.801778.29837.464.13833.33总计643354.34343354.34300000.00568042.50268042.50300000.00由表4.4.2可以看出，贷款30万元，期限30年，在利率保持不变的条件下，等额本息还款法共需支付利息343354.34元，等额本金还款法利息为268042.50元，等额本金还款法少支付利息75311