数学模型与数学建模6.2节

§6.2报童问题与随机库存模型6.2.1报童问题Newsboy问题中，报童每天清晨从报社购进报纸，通过一天的零售后，晚上将没有卖掉的报纸以低于购进价的价格退回。设进价为c，零售价为s，剩余退回的价格为a，问其如何确定每天购进的数量，使其期望获益最大。这里满足。sca从过上述假设，报童每正常卖掉一份报纸利润为，退回一份赔，由于需求量事先无法确定，是随机的。若通过以往销售的经验了解到需求量的随机规律，销售份的概率为，。我们根据以及报纸的进价、零售价和剩余退回价格来建立优化模型，求解最优的订购量。假设报童早晨购进报纸的量为n，则或，所以每天的收入也是不确定的。这里考虑报童在不同销售情况下，建立每天销售收入的期望函数，则（6.2.1）由于r为离散的，这里用差分方法来求式（6.2.1）的极值。令sccar()Pr0,1,2,r()Prrnrn()Rn01()[()()()]()()()nrrnRnscrcanrPrscnPr令()(1)()RnRnRn01[()()()]()()()nrrnscrcanrPrscnPr101(1)()()()()()()nrnrrnnscPrcaPrscnPr10()()()()nrnrscPrcaPr令，且则()0Rn10()()1nrnrPrPr0()nrPrscsa（6.2.2)也就是说，当，a，s和c具体确定时，n即可确定。例6.2.1某服装店出售某款夏季时装。该款衣服成本100元，售价200元。如整个夏季不能售出，则必须降价为70元。设降价后一定可以售出，已知售货量r服从泊松分布，()!rPrer()Pr为平均出售数，根据以往经验，平均出售数为120件。问店的订货量应该为多少单位？解：由题意知：s=200，a=70，c=100代入式（6.2.2），可得。编程如下：poisson-function(r)#泊松分布{lamda-120#期望y-((exp(-lamda))*(lamda^r))/(factorial(r));y}###寻找n值0()200100200701013nrPrf-0f[1]-poisson(1)for(iin1:1000){f[i+1]-f[i]+poisson(i+1)if(f[i+1]=(10/13))break}f;i可得且所以1270()0.7829rPr1260()0.7558rPr1260()0.7558rPr更接近于10/13。故最佳订购量应该为126件。6.2.2随机库存模型由于市场对于商品的需求是随机变量，事前难以知道需求的准确数值。从存贮的角度来考虑，假设在一个阶段开始的时刻原有的库存为I，如供应不足则须承担缺货费，如供应有余，则多余的部分仍须存贮起来。由于存在这种不确定性，就需要计算随机变量的期望值，从而定出最佳的存贮量。我们考虑一个时间段落。做下列符号假设：原有的存贮量为I；存贮货物的单价为k；订购一次的订购费为C1，如订货量为Q时，所需要的订货费为；单位货物的存贮费为，缺货费为；需求量为r的概率为。1CkQ2C3C()Pr当本阶段开始时，订货量为Q，存储量达到I+Q。则本阶段所需要的各种费用由订货费、存贮费和缺货费构成.订货费：存贮费：当需求时，未能售出的存贮部分必须付存贮费；时，不需要付存贮费。因此，所需要存贮费的期望值为：。当时，不付存贮费及缺货费。缺货费：当需求时，则会发生缺货现象，必须付缺货费缺货费用的期望值为。综上，在整个阶段所需的订货费、缺货费及存贮费的期望之和为：（6.2.3）1CkQrIQrIQ2()()rIQCIQrPrrIQrIQ3()()rIQCrIQPr123()()()()()rIQrIQCIQCkQCIQrPrCrIQPr为简便起见，记，则式（6.2.3）即为SIQ即123()()()()()rIQrIQCSCkQCSrPrCrSPr求S值使C(S)达到最小。将需求r的随机值按大小顺序排列为，其中，,（）。S只从中取值。当S取值为时，记为，则。与newsboy模型中求极值的方法类似，我们求的最小值。011,,,,,,iimrrrrr1iirr10iiirrr0,1,,1im011,,,,,,iimrrrrririS1iiiSSS10iirrr11+1112131123()()()()()()()()()()()()iiiiiiiirSrSiiiirSrSCSCkSICSrPrCrSPrCSCkSICSrPrCrSPr（6.2.5）（6.2.4）记1()()()iiiCSCSCS，则23()()()iiiiiirSrSCSkSCSPrCSPr233()()iiiirSkSCCSPrCS(6.2.6)令()0iCS，由于所以，我们有：0iS233()()0irSkCCPrC323()0irSPrCkCC（6.2.7）式（6.2.7）右端的数值称为临界值，记为。我们选使不等式成立的得最小值为S，则订货为。323CkCC()irSPriSQSI模型中还有一个问题需要我们解决，那就是原库存消耗到什么水平时，需要订货？假设这一水平是s，当时，可以不订货，当时要订货，使库存达到S，订货量为。要想确定s，IsIsQSI首先需要考察不等式23()()()()rsrsksCsrPrCrsPr123()()()()rSrSCkSCSrPrCrSPr因s也只能从中取值，使式（6.2.8）成立的（）值中最小者定为s。当时，式（6.2.8）左端缺货费用的期望值虽然在增加，但订货费及存贮费期望值都在减少。在最不利的情况下，如时，不等式使成立的，因此s值一定存在。例6.2.2某汽车零部件生产企业，对某型号钢材的需求量的概率为：011,,,,,,iimrrrrrirSsSsSir（6.2.8）已知每吨钢材的购价为k=7500元，订货费为元，存贮费元，缺货费元。求该企业最优的存贮策略。12825C2100C39000C解：（1）临界值，另外，且，因此，S=90吨为最优订货量。（2）利用式（6.2.8）求s：由于S=90，式（6.2.8）右端为当s=80时，式（6.2.8）左端为3238500750010085000.116CkCC(80)0.10.116Pr(80)(90)0.30.116PrPr2825750090100(9080)0.18500(100.3200.3300.1)779825750080100(8080)0.18500(100.2200.3300.3400.1)778500此时，式（6.2.8）成立，故。可知，该企业最优的存贮策略为每当钢材的库存低于80吨，补充存贮使存贮量达到90吨，当存贮量大于80吨时，不需要补充。80s