二次函数复习

图象与性质交点情况解析式的确定应用一、定义二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式（3）等式的右边最高次数为2次，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（2）a,b,c为常数，且a≠0(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.•函数y＝ax2＋bx＋c–其中a、b、c是常数–切记：a≠0–右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax2知识运用下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x)当m取何值时，函数是y=(m+2)x分别是一次函数？反比例函数？知识运用m2-2二次函数？二、图象与性质（一）形如y=ax2(a≠0)的二次函数二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=ax2a＞0a＜0向上向下直线X=0(0,0)（二）形如y=ax2+k(a≠0)的二次函数二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=ax2+ka0向上a0向下＞＜直线X=0（0，K）二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=a（x-h)2a＞0a＜0向上直线X=h（h，0）（三）、形如y=a(x-h)2(a≠0)的二次函数（或y轴）（或y轴）(四)形如y=a(x+h)2+k(a≠0)的二次函数二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=a（x+h)2+k向上向下a＞0a＜0直线X=-h（-h，k）图象的平移规律：对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律：(1)、平移不改变a的值；(2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右—(3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—（1）抛物线y=x2的开口向,对称轴是,顶点坐标是,图象过第象限；上Y轴(0,0)一、二32（2）抛物线y=x2+3的开口向,对称轴是,顶点坐标是,是由抛物线y=x2向平移个单位得到的；2121上直线X=0（0，3）上3（3）已知（如图）抛物线y=ax2+k的图象，则a0，k0；若图象过A(0,-2)和B(2,0)，则a=,k=；函数关系式是y=。〉〈0.5-20.5x2-2XYABO知识运用（4）抛物线y=2(x–３)2+1的开口向,对称轴,顶点坐标是________（5）若抛物线y=a(x+m)2+n开口向下，顶点在第四象限，则a0,m0,n0。（6）已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。12上X=３（３，1）〈〈〈01.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平移三个单位,得到的图象的函数解析式为________________________2.由函数y=-3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为_____________________________y=2(x+2)2-3=2x2+8x+5y=-3(x-1-4)2+2+3=-3x2+30x-703.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;y=2(x+1)2-84.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.逆向思考,由y=x2-6x+4=(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.知识运用向上向下大二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质1、二次函数y=x2-8x+12图象的开口向,对称轴是，顶点坐标为。直线x=4(4,－４）上2、函数的顶点坐标是，对称轴。开口方向，当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而减小当x时，y有最大值或最小最，最大或最小值是。抛物线与x轴交点坐标为，抛物线与y轴的交点坐标为。知识运用212233yxx归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a0开口向下a0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.交点在x轴上方c0交点在x轴下方c0经过坐标原点c=0（3）a，b的符号：由对称轴的位置确定对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac0yx02-3小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出下面的五条信息：①a＜0；②c＝0；③函数的最小值为-3；④当x＜0时，y0；⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1y2你认为其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．5C已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,a___0,b____0,c_____0,abc____0b___2a,2a-b_____0,2a+b_______0b2-4ac_____0a+b+c_____0,a-b+c____04a-2b+c_____00-11-2＜＜＜＜＞＞＞＜＞＞＞三、抛物线与一元二次方程的关系y=ax2+bx+c的图象和x轴交点方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac函数的图象有两个交点方程有两个不相等的实数根b2-4ac0只有一个交点方程有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点方程没有实数根b2-4ac0xyo..xyoxyo22对于二次函数y=ax+bx+c(a0),当y=0时,函数即可化为一元二次方程ax+bx+c=0,这时方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标.根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解的范围是（）x6.176.186.196.20y＝ax2＋bx＋c-0.03-0.010.020.04A．6.17＜X＜6.18B．6.18＜X＜6.19C．-0.01＜X＜0.02D．6.19＜X＜6.20B四、解析式的确定2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求抛物线解析式的三种方法练习根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(-2，0)，(3，0)，且最高点的纵坐标是3。五、二次函数的应用例1、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．例2、如图所示，某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为30米。（1）如图，设长方形的一条边长为x米，则另一条边长为多少米？（2）设长方形的面积为y平方米，写出y与x之间的关系式。（3）若要使长方形的面积为72平方米，x应取多少米？x(4)当x为多少时，长方形的面积最大？某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利为多少？某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为5米，同时，运动员在距水面5米以前，必须完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并能过计算说明理由？OyABx10m3m跳台支柱已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点.（1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求出A、B、C的坐标；（3）求△ACDB的面积.542xxyyxBOACD解析式点的坐标线段长面积已知抛物线与x轴交于点A（－1,0）和B（3，0），与y轴交于点C，C在y轴的正半轴上，S△ABC为8.（1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，直线CD交x轴于E.则x轴上方的抛物线上是否存在点P，使S△PBE=15？cbxaxy2yAEOBCDx面积线段长点的坐标解析式如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式，（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（3）观察图象，当x取何值时，y0？y=0？y0?yxABO-145C课后练习：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的点，F是CD上的点，且EC=AF，EC=x，ΔAEF的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）画出函数的图象。EBCDAF如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(－8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C.(1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)设M点为(1)中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式；(3)判定(2)中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由.ABC0·Pyx课后训练：某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息（如甲乙两图）。其中生产成本六月份最低。甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线。5336售价3416成本月份月份请根据图象提供的信息说明解决下列问题：（1）在三月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？最大收益是多少？3416成本月份月份5336售价