二次函数恒成立问题

-1-二次函数相关问题一、二次函数解析式（1）一般式：2()(0)fxaxbxca；对称轴：2bxa（2）顶点式：2()()(0)fxaxhka；顶点坐标(,)hk（3）两根式：12()()()fxaxxxx；12,xx是相应一元二次方程的两根二、二次函数的图象重点识记：二次函数最重要的是对称性和单调性，需要通过图象来实现。对于含有参数的二次函数，分析其解析式时应该注意以下几点：（1）二次项系数；此处分三种情况：①系数等于0；②系数大于0；③系数小于0（2）对称轴：2bxa；此处需要考虑对称轴是否在给出的定义域内（3）判别式：①当二次项系数不等于0的时候才存在判别式；②当定义域是R的时候判别式才有效；（4）交点：①与x轴的交点，即零根；②与y轴的交点(0,)c，（5）韦达定理：12bxxa，12cxxa能够帮助判断根的正负，便于画出草图对于二次函数的题目，数形结合的思想是最有效果的，因此要勤画草图，辅助思考。题型一：给定区间的最值问题的解法二次函数的区间最值问题，一般有三种情况：（1）对称轴、区间都是给定的；即没有参数或参数只出现在二次函数解析式中常数项的位置（2）对称轴动，区间固定；即参数出现在解析式中二次项系数或一次项系数的位置（3）对称轴定，区间动；即参数只出现在给定区间的端点处主要思路是：分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进行讨论，结合函数单调性，数形结合。例1已知2230xx，求函数2()1fxxx的最大、最小值例2已知2()44fxxx([,1])xtt，求()fx的最小值()gt例3已知函数,1,1,22)(2xaxxxf，求函数)(xfy的最小值-2-例4已知函数2()223fxxax在[1,1]有最小值，记作()ga．（1）求()ga的表达式；（2）求()ga的最大值．例5分别根据下列条件,求实数a的值：（1）函数2()21fxxaxa在在[0,1]上有最大值2；（2）函数2()21fxaxax在在[3,2]上有最大值4．例6已知函数2()22(0)fxaxaxba，若()fx在区间[2,3]上有最大值5，最小值2，求,ab的值题型二：二次函数相关的恒成立问题若()afx，则max()afx；若()afx，则min()afx；此处等号是否可取，还要考虑函数能否取得到最值一、定义在R上的恒成立问题；设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。1．不等式220mxmx的解集为R，求实数m的取值范围2．k取何值时，不等式(k＋1)x2―2(k―1)x＋3(k－1)≥0对于任何x∈R都成立？-3-3．已知关于x的不等式:012mmxmx的解集是全体实数，求实数m的取值范围。二、定义在区间[m,n]上的恒成立问题4．设函数2()22fxaxx在(1,4)x时都有()0fx，求实数a的取值范围5．设2()22fxxax，当[1,)x时，都有()fxa恒成立，求a的取值范围。6．当(1,2)x时，不等式240xmx恒成立，求m的取值范围7．已知aaxxxf3)(2，若2)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.8．函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。