4 正弦稳态电路分析

4.1正弦信号的基本概念4.2正弦信号的相量表示4.3基本元件VAR和基尔霍夫定律的相量形式4.4相量模型4.5相量法分析4.6正弦稳态电路的功率4.7谐振电路4.8三相电路第4章正弦稳态电路分析4.1正弦信号的基本概念一、正弦量的三要素按正弦(余弦)规律随时间作周期变化的电压、电流称为正弦电压、电流,统称为正弦量(或正弦交流)。可用正弦函数和余弦函数表示。本书用余弦函数表示正弦量。1、瞬时表示式为：)cos()(umtUtu)cos()(imtIti)()(iummIU、、式中是正弦量的三个要素4.1正弦信号的基本概念2、概念：mmUI、振幅：（峰值）角频率：f2T2相位：)(ut)(it初相位：当t=0时的相位取值，即：iu、振幅、频率、初相位构成了正弦信号的三要素Tf14.1正弦信号的基本概念频率f的单位是赫兹(Hz)。我国电力系统的正弦交流电,频率是50Hz,周期为0.02s。频率较高时,常用单位有千赫(kHz)、兆赫(MHz)和吉赫(GHz)表示，其对应的周期单位分别为毫秒(ms)、微秒(μs)和纳秒(ns)。可见,相位差=初相位之差,而与时间t无关。3、相位差a、定义：任意两个同频率的正弦量间相位之差；它是区别同频率正弦量的重要标志之一例如：设两个正弦电压分别为：)cos()(111tUtum)cos()(222tUtum相位差就是2121tt4.1正弦信号的基本概念则电压同相，同时达到最大,同时为零；210则电压反相，u1为正最大时，u2为负的最大值；21注：不同频率的两个正弦量之间的相位差是随时间变化的,而不是常数。4.1正弦信号的基本概念例1同频率的两个正弦电压分别为V)30cos(8)(V)75cos(10)(21ttuttu试求它们的相位差φ，并说明两电压超前、滞后的情况。解：由u1(t)、u2(t)的函数表达式可知：ψ1=75°,ψ2=-30°所以相位差φ=ψ1-ψ2=75°-(-30°)=105°电压u1(t)超前电压u2(t)105°,或说u2(t)滞后u1(t)的角度为105°。例2mA40sin5)(V3πcos20)(ttittu试求相位差φ，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。解：i(t)=5cos(ωt+40°-90°)mA=5cos(ωt-50°)mA电压u(t)u(t)=20cos(ωt+60°)Vψu=60°,ψi=-50°φ=ψu-ψi=60°-(-50°)=110°4、正弦量的有效值正弦信号的有效值:令正弦电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，那么定义该直流电流的值为正弦电流的有效值。满足下列关系式：mmIII707.02mmUUU707.02*交流电流表、电压表测量指示的电流、电压读数都是有效值，有效值是度量交流电大小的物理量。4.1正弦信号的基本概念)cos(2)cos()()cos(2)cos()(mmuuiitUtUtutItIti引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写为4.1正弦信号的基本概念一、复数的表示如图示，设复数的模值为a,幅角为θ，则复数可以表示为：AIaaARaamesincos21122221aaarctgaaa12Aaja=+实部虚部jyxA01a2a4.2正弦信号的相量表示应用欧拉公式21jaaAsincosjaa)sin(cosjasincosjej复数表示为：jaeA表示成极坐标形式：aA代数型方便做加减运算，指数型方便做乘除运算。4.2正弦信号的相量表示二、利用相量表示正弦信号设)cos()(imtItisincosjej欧拉公式imimtjmtjItIeIisincos即：imtjmetIeIRtiicos*正弦信号有振幅、频率、初相位决定同频率的信号里，我们只需关注其振幅和初相即可。4.2正弦信号的相量表示tjjmetjmeeeIReIRtiiiijmmeII相量只与幅度和初相有关它的模正好是正弦电流的振幅，角度是正弦电流的初相位。把它可以表示在复平面上mItjmeeIRti因此，正弦信号可以表示为：为旋转因子tjeimjmmIeIIi4.2正弦信号的相量表示umjmmUeUUuumtUtucostjmetjmeeUReURu)(4.2正弦信号的相量表示ummumimmimUUtUuIItIicoscosuuiiUUtUuIItIicos2cos24.2正弦信号的相量表示4.3.1R、L、C元件VAR的相量形式1、电阻元件相位：mmURI=设流过电阻的正弦电流为：由OL定律得：幅度：imtIticos)cos()cos(imumtRItUtuiu4.3基本元件VAR和KL的相量形式mmIRUIRUimmIIimummRIUU4.3基本元件VAR和KL的相量形式电流和电压之间的相位关系为同相4.3基本元件VAR和KL的相量形式2、电感元件设流过电感的正弦电流为：由微分关系得：imtIticos2cossinimimtLItLIdtdiLtu4.3基本元件VAR和KL的相量形式相位：幅度：mLmUULXIIw===感抗单位为ΩmmLIU2iu4.3基本元件VAR和KL的相量形式j2jsin2cose2jmmmjjIXILULIXILULjjimmII2imummLIUU4.3基本元件VAR和KL的相量形式4.3基本元件VAR和KL的相量形式3、电容元件设流过电容的正弦电压为：由微分关系得：umtUtucos)cos(2cos)sin(imumumtItCUtCUdtduCti4.3基本元件VAR和KL的相量形式相位：mmICUw=幅度：1mCmUUXIICw===容抗以相量表示电压、电流：mCmmIjXICjU1IjXUC2ui4.3基本元件VAR和KL的相量形式4.3基本元件VAR和KL的相量形式设其端口电压、电流(按关联参考方向)分别为)cos(2)(utUtu)cos(2)(itIti4.4相量模型1、定义：端口电压相量与电流相量的比值IUZmmIUZ2、欧姆定律的相量形式：IZUmmIZU*阻抗的单位为Ω(欧姆)，4.4相量模型如果无源二端网络分别为单个元件R、L、C，设它们相应的阻抗分别为ZR、ZL、ZC，CCLLRjXCZjXLZRZ1jjωIXILULjjIjXICjUC1IRU4.4相量模型二、导纳定义：阻抗的倒数；UIYmmUIYGRRR1CjCjC1LjLjL1YZ4.4相量模型例4.4-1图4.4-6(a)为RLC串联正弦稳态电路，角频率为ω，求ab端的等效阻抗Z。XRCLRCLRZj1-j1jj4.4相量模型式中，，称为电抗，它等于相串联的感抗与容抗的代数和。将阻抗Z写为指数形式或极坐标形式：CLXXCLX-1ZZZjXRZZ||e||j式中RXXRZZarctan224.4相量模型式中，R是阻抗的实部,称为电阻;X是阻抗的虚部,称为电抗;|Z|称为阻抗的模，习惯上有时称Z为复阻抗，而把|Z|称为阻抗，并用小写字母表示，即z=|Z|。,θZ称为阻抗角。它们之间的关系是ziuiuZIUIUIUZ阻抗是一个复数量,它可写成代数型或指数型,即ZZRXXRjXRZarctan224.4相量模型IUXRZ22RXiuZarctanX=0时：θZ=0，电压相量与电流相量同相，阻抗呈现电阻性；X0和X0时，阻抗的特性是怎样的？X0时，电压相量超前电流相量，阻抗呈现阻感性；X0时，电压相量滞后电流相量，阻抗呈现阻容性；4.4相量模型4.6.1设端口电压)cos()(mutUtu电流i是相同频率的正弦)cos()(mitIti1.N的瞬时功率)cos()cos()()()(mmiuttIUtitutp2)cos()cos(coscosyxyxyx)2cos()cos()2cos(21)cos(21)(mmmmiuiuiuiutUIUItIUIUtp4.6正弦稳态电路的功率2.N的平均功率ttpTPTd)(10)-cos()-cos(21d)2cos(211d)cos(211mmmm0m0iuiuiuTiumTUIIUttIUTtIUTPφZ=ψu-ψiZZUIIUPcoscos21mm4.6正弦稳态电路的功率1、当无源二端电路的等效阻抗为电阻性时，平均功率为大？φZ=0,cosφZ=1,P=UmIm/2=UI。φZ=±90°,cosφZ=0,P=0。因此，前面讨论的R、L、C元件的功率可以看成是等效阻抗功率的特殊情况。2、当等效阻抗为纯电感性或纯电容性时，平均功率为大？4.6正弦稳态电路的功率3.N二端电路N端子上电压、电流振幅乘积之半或电压、电流有效值乘积定义为二端电路N的视在功率，用符号S表示(也可用PS表示)，即UIIUSmm21def单位为伏安(V·A)。4.6正弦稳态电路的功率4.N二端电路N的无功功率Q(也可用PQ表示)定义为)sin()sin(21defmmiuiuUIIUQ其单位为乏(var)。...)sin()cos(iuyiuxIIII4.6正弦稳态电路的功率二端电路的有功功率看作是由电流Ix与电压U产生的，即..P=UIx=UIcos(ψu-ψi)无功功率可看作是由电流Iy与电压U产生的，即..Q=UIy=UIsin(ψu-ψi)也就是说，电压相量U与电流相量I的正交分量Iy的乘积不表示功率的损耗，它仅表示二端电路N与外电路或电源进行能量交换变化率的幅度。...4.6正弦稳态电路的功率当二端电路不含独立源时，ψu-ψi=φZ，式可改写为ZUIQsin当二端电路N是纯电阻时，φZ=0,QR=0；当N是纯电感时，φZ=90°，QL=UI;当N是纯电容时，φZ=-90°,QC=-UI。负号表明电容元件能量交换的规律和性质与电感元件能量交换的规律和性质正好相反。4.6正弦稳态电路的功率5.N的复功率工程上为了计算方便，常把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复功率，用S表示，即～QPSj~*j-j)(jeee)]sin(j)[cos()sin(j)cos(~IUIUUIUIUIUISiuiuiuiuiuiu4.6正弦稳态电路的功率SUIQPS22|~|若二端电路N不含独立源，有ψu-ψi=φZ,ZSQPSjej~4.6正弦稳态电路的功率4.6.2正弦稳态电路中的功率传输图为一正弦稳态功率传输电路。图中ZL此处所用下标是实际用电设备或器具的等效阻抗。电源的电能