费米能级

费米能级张娟一、基本简介费米能级：就一个由费米子组成的微观体系而言，每个费米子都处在各自的量子能态上。现在假想：把所有的费米子从这些量子态上移开，之后再把这些费米子按照一定的规则（例如泡利原理等）填充在各个可供占据的量子能态上，并且在这种填充过程中每个费米子都占据最低的可供占据的量子态。最后一个费米子占据着的量子态即可粗略理解为费米能级。虽然严格来说，费米能级等于费米子系统在趋于绝对零度时的化学势；但是在半导体物理和电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴化学势的代名词。一般来说，“费米能级这个术语所代表的含义可以从上下语境中判断。费米子可以是电子、质子、中子（自旋为半整数的粒子）。费米能级描述了各个能级上电子分布的概率。一、基本简介固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。费米能级在半导体物理中是个很重要的物理参数，只要知道了它的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。它和温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。二、Fermi能级的概念在固体物理学中，Fermi能量(Fermienergy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量——Fermi粒子所占据的最高能级的能量。另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，EF是该Fermi-Dirac分布函数的一个参量（称为化学势）。在绝对零度下，所有能量小于EF的量子态都被电子占据，而所有能量大于EF的量子态都是空着的，则作为化学势的参量EF就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米能量和化学势统称之为Fermi能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。在非绝对零度时，电子可以占据高于EF的若干能级，则这时Fermi能级将是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。三、Fermi能级的含义作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF，具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。对于金属，其中的自由电子在k空间中将填充成一个球体，称为Fermi球；Fermi能量也就是Fermi球面对应的能量，该能量可以采用Fermi球的半径——Fermi半径kF来表示为式中的h是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的Fermi能级也就是导带中自由电子填充的最高能级。pF=kF称为Fermi动量，vF=kF/m称为Fermi速度。一般，金属的Fermi能量约为1.5～15eV。对于绝缘体和半导体，Fermi能级则处于禁带中间。特别是本征半导体和绝缘体，因为它们的的价带是填满了价电子（占据几率为100%）、导带是完全空着的（占据几率为0%），则它们的Fermi能级正好位于禁带中央（占据几率为50%）。即使温度升高时，本征激发而产生出了电子-空穴对，但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数，则禁带中央的能级仍然是占hh三、Fermi能级的含义据几率为50%，所以本征半导体的Fermi能级的位置不随温度而变化，始终位于禁带中央。②Fermi能级实际上起到了衡量能级被电子占据的几率大小的一个标准的作用。在EEF时，f(E)1/2；在EEF时，f(E)1/2；在E=EF时，f(E)=1/2。譬如，当(E–EF)5kT时，f(E)0.07，即比EF高5kT的能级被电子占据的几率只有0.7%。因此，EF的高低（位置）就反映了能带中的某个能级是否被电子所占据的情况。Fermi能级上电子占据的几率刚好为50%。在温度不很高时，EF以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由电子很少），EF以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的自由空穴很少）；在EF以上、并越靠近EF（即E-EF越小）的能级，被电子所占据的几率就越大。对于n型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi能级EF必将靠近导带底（EC）；同时，掺入施主杂质的浓度越高，Fermi能级就越靠近导带底。③上述分布函数f(E)是指电子占据能带（导带）中某个能级的几率（电子的能量越往上越高）。如果是讨论空穴载流子的话（空穴的能量越往下越高），那么就应当是相应于价带中某个能级所空出(即没有被电子占据）的几率，所以空穴占据能带（价带）中某个能级的几率可以给出为三、Fermi能级的含义所以空穴占据能带（价带）中某个能级的几率可以给出为对于p型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Fermi能级EF在价带顶（EV）之上、并必将靠近EV；这时，价带中越是靠近EF的的能级，就被空穴占据的几率越大；同时，掺入受主的杂质浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。总之，凡是EF靠近导带底的半导体必将是电子导电为主的n型半导体，凡是EF靠近价带顶的半导体必将是空穴导电为主的p型半导体。当然，如果EF处于禁带中央，即两种载流子分别占据导带能级和价带能级的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么这就必然是本征半导体，这时的Fermi能级特称为本征Fermi能级（用EFi表示，与禁带中央线Ei一致）。④由于Fermi-Dirac分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统计分布规律。因此，也只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi能级才有意义。实际上，Fermi能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数——化学势。由于在热平衡状态下三、Fermi能级的含义整个系统具有统一的化学势，因此整个电子系统、即使是复杂的混合体系，在热平衡时也必将具有统一的一条Fermi能级。即：将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。对于一个系统来说，处处的费米能级相同。对于两个系统合并成为一个系统，则费米能级也会趋于处处相同（会有净电荷的流动）。可以这样理解这个事实：热平衡的物理意义是动态的平衡，就是说，一个方向的电子到空穴的迁移速率等于另外一个方向的电子到空穴的迁移速率。而电子和空穴的数目则由费米狄拉克分布和状态分布决定。假设两边的费米能级不相等，那么由于费米狄拉克函数的影响，两边相应的电子空穴的状态数目必然达不到平衡，一定有一个方向的迁移大于另外一个方向的迁移，而这个迁移就会反过来影响费米能级使得两边的费米能级的差别缩小，而最终达到动态的平衡。也可以说是费米能级表示了电子状态的平均填充水平，由于电荷守恒，MOS管中有外电压时，也存在电荷的漂移和扩散，从而导致费米能级相同。四、Fermi能级与温度和掺杂的关系①Si和GaAs半导体的Fermi能级与掺杂浓度的关系见图1。对于n型半导体，因为掺入的施主越多，导带电子的浓度就越大，相应地少数载流子——空穴的浓度就越小，则Fermi能级也就越靠近导带底。对于p型半导体亦然，掺杂浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。当掺杂浓度高到一定程度时，甚至Fermi能级还有可能进入到导带或者价带内部。②Si和GaAs半导体的Fermi能级与温度的关系亦见图2因为当温度升高到一定程度时，不管是n型半导体还是p型半导体，它们都将转变成为（高温）本征半导体。从而，半导体中Fermi能级也将是随着温度的升高而逐渐趋近于禁带中央。即随着温度的升高，n型半导体的EF将降低，p型半导体的EF将上升。此外，在图1和图2中也示出了半导体的禁带宽度（Eg=EC－EV）随着温度的变化状况。Si和GaAs等半导体的禁带宽度具有负的温度系数。四、Fermi能级与温度和掺杂的关系四、Fermi能级与温度和掺杂的关系