级数的概念与性质

1第十一章无穷级数教学内容目录：§1—§8本章主要内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、、、xxexcossinln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。教学目的与要求：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10、掌握应用ex,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。2本章重点与难点：重点:正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数难点：应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、本章计划学时：16学时（2节习题课）教学手段：课堂讲授、习题课、讨论，同时结合多媒体教学推荐阅读文献：1.高等数学同步辅导(下)(第十一章)主编同济大学应用数学系彭舟航空工业出版社2.高等数学名师导学(下)(第十一章)主编大学数学名师导学丛书编写组中国水利水电出版社3.高等数学双博士课堂(第十一章)主编北京大学数学科学学院机械工业出版社作业：习题11－1：2(2、4)、3(2)、4(1、3、5)习题11－2：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5)习题11－3：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)习题11－4：1、2(2、3、5)、4、6习题11－7：1(1、3)、2(1)、4、6能力培养及措施:通过精讲多练,启发式教学,讨论式教学,重点讲授重点、难点，自学部分内容,课堂讨论,结合习题课及多媒体教学培养学生的比较熟练的运算能力、逻辑推理的能力及抽象思维能力,推荐学生阅读相关文献培养学生自学能力.3§11-1常数项级数的概念和性质问题的提出――计算半径为R圆的面积用内接正3×n2边形的面积逐步逼近圆面积：正六边形面积A≈1a，正十二边形面积A≈1a+2a,……正n23形面积A≈1a+2a+……+na若内接正多边形的边数n无限增大，则和1a+2a+……+na的极限就是所要求的圆面积A。这时和式中的项数无限增多，出现了无穷多个数量依次相加的数学式子。一、常数项级数的概念1.常数项级数如果给定一个数列1u,2u,3u,…,nu,…,则表达式1u+2u+3u+…+nu+…(1)叫(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为1nnu即1nnu=1u+2u+3u+…+nu+…nu-----一般项．注1：怎样理解级数中无穷多个数量相加呢？观察有限项和的变化趋势2.级数的部分和：前n项的和)2(121niinnuuuus部分和数列{ns}:11us12us+2u1usn+2u+3u+…+nu3.级数的收敛与发散定义（敛散性）如果级数1nnu的部分和数列{ns}有极限s，即nlim,ssn则称无穷级数1nnu收敛,极限s为这级数的和,并写成41us+2u+3u+…+nu+…如果数列{ns}没有极限,则称无穷级数1nnu发散.注2：若级数收敛，ns是和S的近似值，21nnnnuussr叫做级数的余项,ns代替和S所产生的误差是该余项的绝对值，即误差是nr。例1判别级数1)3)(2(1nnn的收敛性.解3121nnunnknkks1)3)(2(13131)3121()5141()4131(nnn31limnns所以级数收敛，它的和是31。例2讨论等比级数(几何级数)0nnaq(a≠0,q：级数的公比)的收敛性。分析：若,1qqaqaaqaqasnnn11当1q时，nlim,0nqnlim,1qasn级数收敛，其和.1qa当1q时,nlim,nqnlim,ns级数发散．当1q时，级数发散。即：若1q，级数收敛；若1q，级数发散．例3讨论调和级数11312111nnn的收敛性．分析因为01lnxxxnnn1ln1,,34ln31,23ln21,2ln1n1312111ln1ln34ln23ln2lnnnn1lnlimlimnsnnn所以级数发散二、收敛级数的基本性质5性质1若级数1nnu收敛于和s,则级数1nnku也收敛，且其和为ks.分析：设1nnu与1nnku的部分和分别为ns与n,则,nnksnlim.limlimksskksnnnnn则1nnku收敛，和为.ks由nnks知，若ns无极限且0k,则n也无极限．结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变.nnn23233230级数收敛；nnn222221级数发散性质2若1nnu、1nnv分别收敛于s、,则1)(nnnvu也收敛，且其和为s.分析：1nnu、1nnv：ns、n,1)(nnnvu的部分和nnnsnlim.sn则1)(nnnvu收敛，且其和为.s注3：性质2也说成：两收敛级数可以逐项相加减.性质3在级数中去掉或加上有限项，不会改变级数的收敛性.分析：只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的收敛性”,因为其他情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.将级数1u+2u+3u+…+ku+1ku+…+nku+…的前k项去掉，得级数1ku+…+nku+…新级数的部分和为n=1ku+…+nku=,kknss其中nks是原级数的前k+n项的和．因ks是常数，故n时，n与nks或者同时有极限，或者同时没有极限.类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，不会改变级数的收敛性.性质4如果级数1nnu收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数6)2()()()(121111kknnnnnuuuuuu仍然收敛,且其和不变.即加括弧后所成的级数收敛,且其和不变.注意如果加括弧后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来级数也收敛.例如,级数(1-1)+(1-1)+…收敛于零,但级数1-1+1-1+…是发散的.推论：如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散．事实上，倘若原来级数收敛，则根据性质4知道，加括弧后的级数就应该收敛了.性质5(级数收敛的必要条件)若1nnu收敛,则nlim.0nu分析设1nnu的部分和为nS,且,)(nSSn则nlim.0)(lim1nnnnSSu注4：(1)nlim0nu是级数收敛的必要条件而非充分条件。如调和级数n131211虽然,)(01nnun但它是发散的。(2)nlim0nu(不存在)，则1nnu发散。例4讨论下列级数的收敛性1．11nnnnlim01nu发散2．nn1121nlim01nu发散3.11lnnnnnnlim011ln111ln11enunnnn发散4．12sinnnnlimnu不存在发散小结:本节介绍了无穷级数的基本概念和性质及其收敛的必要条件。