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1量子信息概论郭光灿国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班2X量子比特 比特（bit）是经典计算和经典信息的基本概念，经典信息的基本单元。 比特：0或1，或，01 量子比特：称和为计算基态。,10βαψ+=122=+βα01 等效表示：式中θ,ϕ为实数，θ和ϕ定义单位三维球面上的一个点。Bloch球。12sin02cosθθψϕie+=国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班3 量子比特的物理载体：任意二态的量子体系，如光子、原子、电子、原子核等。 一个量子比特表示多少信息?X如若不进行测量，一个量子比特代表多少信息?若对进行一次测量，只能给出0或1，量子比特的测量后的态为或。因此，从一次测量，人们只能获得关于量子比特态的一个ψ01比特的信息。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班4——这是个微妙的问题。如果不进行测量，人们如何度量信息呢？尽管如此，这里仍有重要概念性问题存在。因为当Nature演化量子比特的封闭量子系统，不做任何“测量”，她显然会保持住用于描述该态的全部连续变量（如α和β）的踪迹。在某种意义上讲，Nature在一个量子比特的态中，隐藏有大量的“hiddeninformation”（隐信息），更有趣的是，这种额外“信息”的数量随着量子比特的数目指数增加。如何理解这类隐信息正是我们要致力研究的问题，也是量子力学之所以成为信息处理强有力工具的核心。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班5多量子比特 两个量子比特两个经典比特，有4种可能状态：00,01,10,11。两个量子比特有4个计算基态：。11,10,01,00X两个量子比特可表示为1110010011100100ααααψ+++=归一化条件,12}1,0{2∑∈=xxα11,10,01,00=x2}1,0{代表长为2的字符串集合，每个字符取0或1。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班6若测量子集（第一个量子比特），测得0的几率为,测量后的量子态为（归一201200αα+化）20120001000100'ααααψ++=X两量子比特的重要量子态是Bell态或EPR对，如(),110021+两量子比特之间存在量子关联。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班7Xn个量子比特系统有2n个振幅系数，例如，n=500，2n比宇宙中的原子数目还多。,,,,21nxxx,''}1,0{∑∈=nxxxαψ计算基态若能制备n个量子比特存储器，则它具有巨大的存储数据能力。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班8量子计算量子计算机由包含有导线和基本量子门的量子线路（quantumcircuit）构成，导线用于传递量子信息，量子门用于操作量子信息。（1）单个量子比特门量子门对量子态作用是线性的，如量子非门0110NOTβαβα+⎯⎯→⎯+为什么门作用不会是非线性？这归结于量子力学的线性特性。非线性量子力学会导致超光速通信、违背热力学第二定律等。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班9量子非门的矩阵表示(以,为基)01⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110X例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡αββαX1010βαββα+⎯→⎯+X即作用于单个量子比特的量子门都可用矩阵描述。22×用做量子门的矩阵有何限制？描述单个量子门的矩阵U是么正的，即U+U=I。这个么正性限制是对量子门的唯一限制。Ð任意么正矩阵均可标志有效量子门！Ï国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班10不变，。☯Z门⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≡1001Z将其作用：0变为11−☯Hardmard门其作用：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≡111121HIHHH=−=+=2)10(211)10(210☯某些重要单量子比特门212101010101010−+++−+++0βαβαβαβααββαHxz存在无数多个22×因而有无数多个单量子比特门。么正矩阵，业已证明，任意么正矩阵可做如下分解⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−−2/2/22222/2/00cossinsincos00δδββαiirrrriiieeeeeU式中为实数，注意：第二个矩阵为普通旋转矩阵，第一、三矩阵为绕围Z轴的旋转。这个分解式给出任意单量子比特量子逻辑门的精确表述。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班11（2）多量子比特门典型多量子比特门是受控非门(Controlled-NOTorCNOT)ABBAA+IUUUCNCNCN=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+,0100100000100001其中为控制量子比特(controlqubit),A为目标量B子比特(targetqubit)。作用：当控制比特为0时，目标比特不改变；当控制比特为时，目标比特倒置，即101,10→→。业已证明：任意多量子比特门均可以由CNOT和单量子比特门构成。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班12（3）基于非计算基的测量计算基并非是唯一的测量基，例如，可以选择另组正交基：)10(21),10(21−≡−+≡+可将任意态写成：−−+++=+=2210βαβαβαψ量子比特10βαψ+=采用基矢1,0进行测量，结果为0的几率分别和1为和。2α2β测量之后，将坍缩到或,几率为。+−2221,21βαβα−+和更一般，给出任意基态a,可以将任意态表示bbaβα+只要为ab为正交，就可以进行相对于,的测量，以ab和2α几率给出α，以2β几率给出β，。122=+βα,国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班13量子线路以包含有三个量子门的量子线路为例⊕××⊕⊕线路中的每条线不一定对应物理上的导线，它可能是时间流向，或许是从某处传送到另处的物理粒子，如光子。该线路功能：abbbabbabbabaabaaba,)(,,),(,,=→=→→⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕实际效果是交换了两个量子比特。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班14可控－U门假定U是作用在某n个量子比特上的任意么正矩阵，U可以看作是作用在这些量子比特上的量子门，定义可控—U门，它有单个控制量子比特，n个目标量子比特。如果控制量子比特为0，则目标量子比特不发生任何变化，若控制量子比特为1，U则门U作用在目标量子比特上。另类重要操作是测量。用指针表示，这种操作将单个量子比特态显然，CNOT门是其特例，（非门）10βαψ+=变换成概率经典比特M，以2α概率得0，以ψM概率得1，用双线表示2β。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班15量子比特复制线路?经典比特可用CNOT门精确地复制，量子比特可否精确复制？xxyxy⊕x0xx+10ba=01100ba+ψ+经典复制线路量子复制线路量子CNOT门作用于得到ψ1100ba+这显然不是1110010022bababa+++=ψψ量子不可克隆定理：不存在任何物理过程可以精确复制任何未知的量子态。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班16Bell态（EPR对）+xyHxyβInOut11100100111001002/)1001(2/)1100(2/)1001(2/)1100(ββββ≡−≡−≡+≡+国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班17量子隐形传态(QuantumTeleportation)将未知量子态（量子比特）传送到远处而不传送量子态的物理载体。Alice对处于未知量子态粒子和她的纠缠粒子Alice和Bob各自拥有EPR对的一个纠缠粒子。ψ进行量子测量，获得4个可能经典结果00,01,10,11中的一个。Alice将测量的结果传送给BobBob依据Alice的信息对他手中的EPR粒子做相应操作，便可恢复出原始的量子态。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班18+ψHψ00β2MX1MX1ΜΜ20ψ1ψ2ψ3ψ4ψ隐形传送一个量子比特的量子线路待送未知量子比特：10βαψ+=构成量子通道的EPR态：)1100(2100+=β输入)]1100(1)1100(0[21000+++=⊗=βαβψψAlice对前两个粒子做CNOT门操作得到)]0110(1)1100(0[211+++=βαψ国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班19Alice将第一个粒子通过Hadamard门，得到)]01(11)10(10)01(01)10(00[21)]0110)(10()1100)(10([212βαβαβαβαβαψ−+−++++=+−+++=Alice对前两个粒子进行正交测量，得到00,01,10,11中的任一个，Bob的粒子将坍缩到相应的测量后(post-measurement)态：]0)1([)11(11]1)0([)10(10]0)1([)01(01]1)0([)00(003333βαψβαψβαψβαψ−≡−≡+≡+≡国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班20Bob依照Alice传送来的测量结果，将其粒子通过适当量子门便可恢复出原始原子态：ψ若测量结果为00，Bob无需做任何操作若测量结果为01，Bob施加X门若测量结果为10，Bob施加Z门若测量结果为11，Bob施加ZX(先施加X门，再作用Z门)故Bob需要施加的变换为21MMXZ国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班21量子隐形传态有许多有趣的特性，例如(1)隐形传送是否允许超光速地传送量子态？不可能，因为只有Alice通过经典信道将测量结果传送给Bob，才有可能实现这种隐形传态。没有这个经典通信，teleportation无法传送任何信息。(2)隐形传态似乎产生了一份待传送量子态的复制，违背了量子不可克隆定理。事实上，原始粒子的态在Alice测量时被破坏，它最终处于或，因此这里量子隐形传态强调了量子力学的不同信源的相互交换能力，它证明，一对共享EPR对连同两个经典通信比特起码等同于一个通信量子比特的信源。国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班22量子算法是否能找到这样问题，量子计算可以完成得比经典计算机更好?（1）有效量子算法Shor(1994)：量子计算机原则上可以有效地进行大数因子分解。因子分解是典型的难解问题(intractable),其特性：——一旦找到解，很容易验证。（n=pq）——但解很难找到。（给定n，求q,p）“Oneway”问题，寻找因子所需时间是log(n)的超多项式函数：9.1)964(],)ln(ln)(lnexp[3/13/23/1==≈cnncT例：130位数～1个月;400位数～1010年(宇宙年龄)不可能在输入长度(logn)的多项式时间内求解。大数因子分解是现代公开密钥RSA体系安全性的基石。Shor算法：,可在多项式时间内求解。])O[(ln~T3n国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班23（2）量子复杂性(Benioff,Feynman,1982)考虑N个量子比特的系统，其量子态是2N维空间中的一个矢量。设希氏空间的基矢量选为(二制数字态)，一般10101100矢量可表示为∑∑−==12021,Nxxxxaxa若对该矢量进行测量，可得到输出为的几率为x2xa量子计算基本过程●将N个量子比特制备在某标准初态中，如●用么正变换U作用在N量子比特上（U是标准量子门的乘积）●测量所有量子比特使之投影到的基上，测量后输出便是计算的输出，因此最后输出是经典信息。注意：QC所实行的算法是一种概率算法。它给出可能输出值的概率分布。(重复同一运算，每次给出不同的经典信息)。0=x}10{国家自然科学基金委员会数理学部实验物理讲习班24经典计算机也可以存储矢量，旋转矢量，投影矢量到正交轴上。∴量子计算机并不能做经典计算机做不到的事，原则上，经典计算机可以任意高精度模拟量子计算机的过程，只要有足够的资源。但是，这种模拟需要多长时间？例：N=100，表示典型的量子态要有2N=2100~1030个复数！任何现有经典计算机都做不到。而且还要对1030维空间中的矢量旋转，更是无能为力！∴对经典计算机而言，“量子力学”是个“难解问题”！（动力学不同）Feynman最先注意到这个问题，并指出：量子计算机可以实现经典计算机事实上无法做到的事情。量子计