第二章-常用概率分布可靠性

§2-1常用概率分布第二章可靠性理论中常用的几种概率分布§2-2概率分布的应用1§2-1常用概率分布下面介绍几种常用的概率分布，包括离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布。它们在可靠性工程中有着广泛的应用。二项分布泊松分布正态分布对数正态分布威布尔分布指数分布※概述由于产品千变万化，寿命分布的类型很多，许多情况下要确定产品的失效服从何种分布是很困难的，一般有两种方法：一是根据其物理背景来定，即产品的寿命分布与内在结构以及物理、化学、力学性能有关，与产品发生失效时的物理过程有关。通过失效分析，证实该产品的失效模式或失效机理与某种分布类型的物理背景相接近时，可由此确定它的寿命分布类型。二是通过进行可靠性寿命实验或者分析产品在使用过程中数据资料来获得产品的失效数据，利用统计推断的方法来判断它属于何种分布。在可靠性工程中，常用的分布有二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布、威布尔分布等。产品可靠性的所有数量特征，都与该产品的寿命分布函数有密切关系。如果已知寿命分布函数，则失效密度函数、失效率函数以及可靠寿命等许多特征量都可以求出。即使不知道具体的寿命分布函数，但如果已知寿命分布的类型，也可以通过对分布的参数估计，求得某些可靠性特征量的估计量。因此，研究产品的寿命分布十分重要。一、伯努利试验和二项分布伯努利试验:在相同的条件下，某一随机事件独立地重复n次试验只有两种不同的结果，且试验中事件发生的概率不变，这种重复的系列试验称为伯努利试验。rnCrnrPqPn(X=r)=rrnrnCpqrnC在n次伯努利试验中，随机事件出现的次数是一随机变量X，它每次发生的概率为P，而不出现的概率为q=1-p。设在n次试验中出现的次数为r，则这样的组合数将有,而每个组合的概率是，所以事件发生r次的概率为式中正好是二项式系数，故称该随机事件发生的概率服从二项分布二项分布的累积分布函数为（2-1）由累积分布函数的性质可知（2-2）二项分布是离散型随机事件的一种分布，其均值和标准差分别为（2-3）P（r≤k）01krrnrnrCpq0()nnrpXr01krrnrnrCpqnpqnp由于工程问题中随机事件包含两种可能性情况(合格和不合格、成功和失败，可靠与不可靠)者甚多，因此二项分布不仅用于产品的可靠性抽样检验，还用于可靠性试验和可靠性设计等各个方面。如果某随机事件的不可靠度为:F（t）=p，可靠度R（t）=1－F(t)=q，则式（2-2）变为P（r≤k）=rnrkrrntRtFC)]([)]([0（2-4）二、泊松分布泊松分布也是离散型随机变量的一种分布，它描述在给定时间内发生的平均次数为常数时事件发生次数的概率分布。例如一部仪器上各种类型的缺陷数，铸件上的砂眼数，一段时间内设备发生的故障次数等。这些事件的共同特点是，知道发生的次数或个数，但是不知道它不发生的次数或个数。而对于二项分布，不但知道事件发生的次数，也知道不发生的次数。泊松分布的表达式为P（X=r）=式(2-5)表示事件发生r次的概率，其中为事件发生次数的均值，它不随时间的变化而改变。!rer（2-5）e当试验次数n很大而每次试验事件发生的概率P很小时，泊松分布是二项分布很好的近似，一般当n≥20，P≤0.05，二者的近似性就已很好，即有近似公式不难证明，泊松分布的均值和方差都是，其累积分布函数为P（r≤k）=(1)!rrrnrneCPPr式中=np0kr!rer（2-6）例2—1今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效的概率。解已知n=25，=np=0.5，P=0.02由二项分布Pn（X－r）==×0.022×0.9823=0.0754由泊松分布P（X－r）===0.0758rrnrnCpq225C!rer20.50.52!e可见两种分布计算的结果非常近似，而二项分布计算较烦，泊松分布计算则简单些。但是应该指出，泊松分布不仅是二项分布的一种近似式，就其本身而言也是可靠性学科中一个重要的分布。三、正态分布•正态分布是一个基本的概率分布，也是最常用的一种概率分布。•正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布的场合。若产品寿命或某特征值有故障(失效）密度(t≥0，μ≥0，σ≥0)则称t服从正态分布。222)(21)(tetf正态分布的概率密度函数和累积分布函数分别为：22()21()2xfxe（2-7）（2-8）2()21()2xxdxFxe－∞＜x＜∞正态分布可记为N(，)，它是—种对称的分布，其参数均值决定正态分布曲线的位置，表征随机变量分布的集中趋势，而标准差决定正态分布的形状，表征随机变量分布的离散程度。和对正态分布曲线位置和形状的影响•则有：不可靠度•可靠度••故障率ttdtetF02)(2221)(ttdtetR02)(22211)(正态分布计算可用数学代换把上式变换成标准正态分布，查表简单计算,得出各参数值。)()()(tRtft当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布，记作N（0，1），其概率密度函数和累积分布函数为221()2zfzezdZze2221F（Z）=（2-9）（2-10）上式F(z)值可查标准正态分布面积表为了便于计算，经过变量置换，可将非标准正态分布化为标准正态分布。令，代入式（2-8）得或者P（x1＜X＜x2）•xz)(21)(22xdzexFxZdxexxx2222)(21dZexxZ21222121()()xx（2-12）（2-11）=•可见，经变量置换后，式(2-7)和式(2-8)都成了标准正态分布形式，这样，非标准正态分布的累积概率值都可以看成是标准正态分布的累积概率值，即(Z)曲线下面的面积F(Z)或（Z）。由于正态分布的对称性，查表时请注意：•1)附表1是与图a相应的标准正态分布面积表，F(—Z)=1—F(Z)。f•2)标准正态分布面积表还有如图b、c、d所示的表示方法，显然图b中的面积等于图a中的1一F(Z)，图c中的F(Z)+0.5等于图a的F(Z)，图d中的面积除2加0.5等于图a中的F(Z)(图中的积分面积均以阴影表示)。•例2-2有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验，今测得试件材料的强度均值=600MPa，标准差=50MPa求：(1)试件的强度均值=600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数，(2)强度落在(550—450)MPa区间内的失效概率和失效试件数；(3)失效概率为0.05(存活率为0.95)时材料的强度值。解:（1）由附表1查得失效概率F（Z）=0.5•存活率R（x=500）=1-F(Z)=1－0.5=0.5•试件失效数n=100×0.5件=50件（2）失效概率P（450＜X＜550）==（－2）－（－3）=0.022750－0.0013499=0.0214试件失效数n=100×0.0214件≈2件（3）失效概率F（Z）=0.05，存活率1－F（Z）=0.95。由附表1查得Z=－1.64，由式Z=可得－1.64=材料的强度值为x=518MPa。550600450600()()5050x60050x在可靠性分析中，材料的强度、零件的寿命和尺寸等都可以用正态分布来拟合。由概率论的中心极限定理可知，当研究对象的随机性是由许多互相独立的随机因素之和所引起，而其中每一个随机因素对于总和影响极小时，这类问题都可认为服从正态分布，因此，正态分布应用较广。但是，正态·分布是对称的，并且随机变量的取值是从—∞到+∞。然而，有许多试验数据并不是对称的，而是倾斜的，或观察数据只能取正值而不能取负值，因此，正态分布和其它分布一样，也有局限性，在使用中应根据具体情况选择合适的分布。四、对数正态分布如果随机变量X的自然对数y=1nx服从正态分布，则称X服从对数正态分布。由于随机变量的取值x总是大于零，以及概率密度函数(x)的向右倾斜不对称，见图因此对数正态分布是描述不对称随机变量的一种常用的分布。材料的疲劳强度和寿命，系统的修复时间等都可用对数正态分布拟合，其概率密度函数和累积分布函数分别为)(2121)(yyyyexxfdxexxFyyyyx)(21021)(x0(2-14)（2-13）式中和为y=1nx的均值和标准差。yy实际上常用到随机变量的中位值xm，它表示对数正态分布的均值、标准差和中位值分别为随机变量的中心值，其定义为P(X≤xm)=P(Xxm)=0.5022()212()()(1)yyyxxxmEXeDXexey（2-15）（2-16）（2-17）由于y=1nx呈正态分布，所以有关正态分布的一切性质和计算方法都可在此应用。只要令，便可应用标准正态分布表，查出累积概率F（Z），反之由F（Z）变可查出1yynxZ1yynxZ五、威布尔分布•威布尔分布是一种含有三参数或两参数的分布，常用来描述材料疲劳失效、轴承失效等寿命分布的，由于适应性强而获得广泛的应用。三参数威布尔分布的概率密度函数为累积概率分布为()1()()xyxyfxe)(1)(xexF（2-18）（2-19）式中为形状参数；为尺度参数；为位置参数。当=0，则称为两参数威布尔分布。其概率密度函数和累积分布函数分别为)(1)()(xexxf)(1)(xexF（2-20）（2-21）讨论三个参数对威布尔分布的影响：形状参数，它影响分布曲线的形状，图2—10～图2—12示出了形状参数对概率密度函数f(x)，可靠度R(t)和失效率(t)的影响情况。如果应用威布尔概率纸，把随机变量x和相应的F(x)在威布尔概率纸上描点时，可得出以不同卢为斜率的直线，所以形状参数也称威布尔斜率。它是三个参数中最重要的具有实质意义的参数。不同β值的威布尔分布（=1，γ=0）β=3β=1/2β=2β=1f(t)t图2—13给出了不变而取不同值时的威布尔分布曲线，可见当改变时，仅曲线起点的位置改变，曲线的形状不变。当随机变量为零件寿命时，表示开始发生失效的时间t,即t=之前发生失效的概率为零，因此也称为最小保证寿命。γ=0γ=0.5γ=-0.5γ=1f(t)t不同γ值的威布尔分布（=1，β=2）图2—14给出了不变而取不同值时的威布尔分布曲线。由图可见，起始点相同（不变)，分布曲线形状相似(不变)，只是在横坐标轴方向上离散程度不同。不同值的威布尔分布（β=2，γ=0）=1/3=1/2=2=1f(t)t当随机变量为零件的工作时间t，若t=则式(2—21)为F(t)=1-e-1=0.632零件的失效概率为63.2％时之工作时间称为特征寿命。上述三个参数可通过试验获得随机变量的取值，用威布尔概率纸来确定，具体方法见文献。三参数威布尔分布的数学期望和方差为Γ式中Γ(x)为伽玛函数，可查伽玛函数表得到Γ(x)值)()(xE)11([)()(22xV)21()]11(ΓΓ2(2-22)（2-23）两参数威布尔分布的数学期望及方差为（2-24）)(xEΓ)11([)(22xV)21(Γ2)21(（2-25）许多分布都可以看作是威布尔分布的特例，由于它具有广泛的适应性，因而许多随机现象，如寿命、强度、磨损等，都可以用威布尔分布来拟合。指数分布可以看作是、的威布尔分布的一种特例，它描述了产品偶然失效期的寿命分布，此时