柯西中值定理的证明及应用

第1页共15页柯西中值定理的证明及应用马玉莲（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070）摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用,其中证明方法有:构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明,利用闭区间套定理证明,利用达布定理证明,利用坐标变换证明.其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.关键词：柯西中值定理;证明;应用第2页共15页1.引言微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下：柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足(1)在[,]ab上都连续;(2)在(,)ab内都可导;(3)'()fx和'()gx不同时为零;(4)()()gagb,则存在(,)ab，使得()()()()()()ffbfaggbga.（1）本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.2.柯西中值定理的证明2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab上可导，且()()fafb则至少存在一点,(,)ab,使得'()0f.证明构造辅助函数()()()()()(()())()()fbfaFxfxfagxgagbga，易见F在[,]ab上满足罗尔定理条件，故存在(,)ab，使得'''()()()()()0()()fbfaFfggbga,（2）因为()0g（若()g为0则()f同时为0,不符条件）故可将（2）式改写为(1)式.便得所证.第3页共15页2.2利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理讨论显然，当'()gxx时，(1)式即为拉格朗日公式，所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.但若换一个角度，将()ft和()gt看成xy平面上某条曲线()yFx的参数方程，即()yFx可以表示为：(),(),xgtyft[,],tab易知()yFx在[(),()]gagb（或[(),()]gbga）上连续,在((),())gagb（或((),())gbga）上可导，由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点(,())F过该点的斜率,()F等于曲线两端连线的斜率()()()()fbfagbga（如图1所示）.设x对应于图1(,)tab，则由参数形式函数的求导公式，有'()()()()()()()ffbfaFggbga.所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.证明由闭区间上连续函数的性质，以及()gx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导，且导数恒不为零，且不难证明，()gx在[,]ab上严格单调，不妨设()gx严格单调增加.下证()gx严格单调，只证()gx在[,]ab上严格单调递增.取1x，2x[,]ab规定21xx由g的连续性知21()()gxgx那么1212()()0gxgxxx,对上式求极限121212()()lim0xxgxgxxx,((),())gafa((),())gbfbxoy第4页共15页又12'1212()()()limxxgxgxgxxx,得到'2()0gx，由2x的任意性知'()0gx故()gx在[,]ab上严格单调递增.同理可得()gx在[,]ab上严格单调递减,故单调性得证.记()ga，()gb，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在[,]上存在()gx的反函数1()gy，1()gy在[,]上连续，在(,)可导，其导数1'1[()]'()gygx，并且1()gy在[,]上也是严格单调增加的.考虑[,]上的复合函数1()(())Fyfgy，由定理条件和以上讨论，即知()Fy在[,]上满足拉格朗日中值定理条件，于是，存在(,)，使得11'()()(())(())()()()()()FFfgfgfbfaFgbga.由()gx和1()gy的关系，在(,)ab中一定存在一点，满足()g，于是1''1'11''()1()()(())(())[()]()'()()yyxgfFfgyfgygyfxgxg代入上式就得到了定理结论.2.3利用闭区间套定理证明柯西中值定理定义如果一列闭区间{[,]}nnab满足条件（1）11[,][,],1,2,3nnnnababn;（2）lim()0nnnab,则称这列区间形成一个闭区间套.闭区间套定理如果[,]nnab形成一个区间套，则存在惟一的实数属于所有的闭区间[,]nnab，且limlimnnnnab.第5页共15页引理1设函数()fx在[,]ab上有定义，且在0x(,)ab处可导，又{[,]}nnab为一闭区间套，且0limlimnnnnabx，则'()()()limnnnnnfffx.引理2设函数()fx在[,]ab上连续，则存在11[,][,]abab且111()2baba，使得1111()()()()fbfafbfababa.现在把引理2推广为：引理3设函数()fx，()gx在[,]ab上连续，且()gx是单射，则存在11[,][,]abab，且111()2baba，使1111()()()()()()()()fbfafbfagbgagbga.下面证明柯西中值定理：证明首先证明，当,[,]ab且时，有()()gg.反设()()gg，由引理2，存在11[,][,]，且111()2，使1111()()()()0gggg,从而11()()gg.在11[,]上再次应用引理2有，存在2211[,][,]，且22111()2，使112211()()()()0nngggg，从而又有22()()gg.反复利用引理2，最终可得一个闭区间套{[,]}nnab，满足lim()0nnn，且()()nngg，由闭区间套定理，存在[,][,]ab，使limlimnnnnab,第6页共15页根据引理1得：'()()()lim0nnnnnggg,这与条件'()0((,))gxxab相矛盾.再根据引理3，存在11[,][,]abab，且111()2baba，使1111()()()()()()()()fbfafbfagbgagbga,反复利用引理3，类似与前面的证明，可得闭区间套{[,]}nnab，满足lim()0nnnba且()()()()()()()()nnnnfbfafbfagbgagbga.由闭区间套定理存在[,]cab，使limlimnnnnc。再由引理1有:()()()()()()()limlim()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnfbfabafbfafcfbfagbgagcgbgagbgaba.即柯西中值定理成立.2.4利用达布定理证明柯西中值定理达布定理()fx在(,)ab上连续且可导，（1）若12,(,)xxab，12()()0fxfx，则有12(,)cxx，使得'()0fc.（2）设12,(,)xxab，12()()fxfx，则对介于'1()fx与'2()fx间的数有点介于1x与2x之间，且'()f.根据拉格朗日中值定理，我们易知有下列命题成立：命题设函数()fx在(,)ab上可导，对(,)xab，有''()0(()0)fxfx或，则()fx在(,)ab上严格单调增加（减少）.下面证明柯西中值定理：证明构造辅助函数第7页共15页()ga()g()gbyMABL()[()()]()[()()]()Fxgbgafxfbfagx,显然()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()FaFb.现要证明存在(,)ab，使'()0F.假设对一切(,)ab'()0F，则由达布定理易知，要么'()0F，要么'()0F，当'()0F时则由命题易知()Fx在(,)ab内严格单调，从而在[,]ab上严格单调增（因()Fx在[,]ab上连续）.从而()()FaFb与定理中的条件()()FaFb矛盾，当'()0F时同样可推出矛盾故有'()0F，即()()()()()()ffbfaggbga成立.2.5利用坐标变换证明柯西中值定理微分中值定理证明的难点在于构造辅助函数，而下列证明不通过构造辅助函数，利用坐标旋转变换来证明柯西中值定理.证明构造参数方程(),(),xgtyft，atb,（3）由定理条件知，方程（3）的图像是xoy平面上一条连续且光滑的曲线L，曲线L的两个端点分别为A((),())gafa，B((),())gbfb.'y'()ga'()g'()gbx图2.坐标旋转变换图由图2所示，AB与x轴正向夹角为，ABr，旋转x轴使'ox平行于AB，'x'xo第8页共15页曲线L在'ox轴上的投影区间为''[(),g()]gab，则曲线L上任意一点M((),())gtft在新坐标系''xoy下的坐标为''(,)(()cos()sin,()sin()cos)xygtftgtxft,而()()cosgbgar，()()sinfbfar，所以曲线L在新坐标系''xoy下是参数方程：''()()()()()(),()()()()()(),gbgafbfaxgtftrrfbfagbgaygtftrr（4）显然，对于任意(,)tab，'dxdt，'dydt均存在.设'0dxdt，则方程（4）在''[(),g()]gab上满足罗尔定理条件，故存在(,)ab，使得'''()((),())ggagb且有''''()0xgdydx，即存在(,)ab，使得''''''()()()()()()()0()()()()()()xgtfbfagbgagtftdyrrgbgafbfadxgtftrr,所以有()()()()()()ffbfaggbga,即存在(,)ab使得定理成立.第9页共15页3.柯西中值定理的应用3.1求极限求lim(1)(0)nnxx.解由柯西中值定理，得1111,01lnln1nnncxncxc,即1111lnnnxcxn,有1(1)lnnnnxcx，故11lim(1)limlnnnnnnxcx,因lim1nnc，故lim(1)lnnnnxx.3.2证明不等式试证若()fx，()gx都是可微函数，且当xa时，''()()fxgx，则当xa时，()()()()fxfagxga.证明令()()Gxgxx，则''()()0Gxgx.而''()()()1()()()fbfafGxGaG,有()()()()()()()fxfaGxGagxgaxa,由于为任意小正数，令0，有()()()()fxfagxga.第10页共15页3.3证明等式试证若10x，20x则，211212(1)()xxxexeexx其中在1x与2x之间.证明由于10x，20x，则0x不在