二元函数的泰勒公式

§10.4.二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数),(yxfz的两个（一阶）偏导数yzxz,仍是x与y的二元函数.若它们存在关于x和y的偏导数，即.,;,yzyzyzxzxzyzxzxz称它们是二元函数),(yxfz的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：xzxz表为22xz或).,(yxfxxxzyz表为yxz2或).,(yxfxy（混合偏导数）yzxz表为xyz2或).,(yxfyx（混合偏导数）yzyz表为22yz或).,(yxfyy一般地，二元函数),(yxfz的1n阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n阶偏导数.二元函数的n阶偏导数至多有n2个.二元函数),(yxfz的n阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号kknnyxz或),()(yxfnyxkkn表示二元函数),(yxfz的n阶偏导数，首先对x求kn阶偏导数，其次接着对y求k阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n元函数的高阶偏导数.例1.求函数332233xyyxyxz的二阶偏导数.2解：.233.63223232xyxyxyzyxyyxxz.66322yxyxz.269222yxyxxyz.269222yxyxyxzxyzyxz22.26322xyxyz例2.证明：若,)()()(,1222czbyaxrru则.0222222zuyuxu证明：由§10.3.例2，有.,,333rczzurbyyuraxxu623223)(rxrraxrxuraxxr6233)(rraxraxr.)(31253axrr同样，可得.)(31,)(312532225322czrrzubyrryu于是，])()()[(3322253222222czbyaxrrzuyuxu.03333rr定理1.若函数),(yxf在点),(00yxP的邻域G存在二阶混合偏导数),(yxfxy与),(yxfyx，并且它们在点),(00yxP连续，则),(),(0000yxfyxfyxxy)1(3证明令),(yxF),(),(0000yxxfyyxxf),(),(0000yxfyyxf，①令),(),()(00yxfyyxfx.对)(x在],[00xxx上应用拉格朗日中值定理,得xxxyxF)(),(10xyxxfyyxxfxx),(),(010010yxyyxxfxy),(2010；②令),(),()(00yxfyxxfy.同样方法可以得到yxxyxxfyxFyx),(),(4030.于是有),(2010yyxxfxy),(4030xyxxfyx.令0,0yx,取极限得(1)式.例3.证明：若,sin,cos),,(yxyxfz则.11222222222fffyfxf证明：yyfxxff.sincosyfxfyyfxxff.cossinyfxfsincos22yfxfffff.sincossincossincos22222222yfxyfyxfxfcossin22yfxfffffcoscossinsin222222xfyxfxf4.sincoscossin222222yfyfxyf于是，)cos(sin)sin(cos112222222222222yfxffffsincossincosyfxfyfxf.2222yfxf即.11222222222fffyfxf★说明：定理1的结果可推广到n元函数的高阶混合偏导数上去.例如，三元函数),,(zyxf关于zyx,,的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：.,,,,,333333xyzfyxzfyzxfxzyfzxyfzyxf若它们在点),,(zyx都连续，则它们相等.若二元函数),(yxf所有的混合高阶偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有二个，二阶偏导数只有三个)(yxxyff，三阶偏导数只有四个.一般情况，n阶偏导数只有1n个.二、二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数),(yxf在点),(kbhaQ的函数值),(kbhaf在点),(baP展成泰勒公式，作辅助函数,10),,()(tktbhtaft即.10,,),,()(tktbyhtaxyxft显然，).,()1(,1);,()0(,0kbhaftbaft于是，函数),(kbhaf在点),(baP展成的泰勒公式就是一元函数)(t在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1t的值.5定理2.若函数),(yxf在点),(baP的邻域G存在n+1阶连续的偏导数，则GkbhaQ),(，有),(!21),(!11),(),(2bafykxhbafykxhbafkbhaf,10),,()!1(1),(!11kbhafykxhnbafykxhnnn（4）其中符号),(bafyxli表示偏导数liliyxf在),(baP的值，),(),(0bafyxkhCbafykxhimimimimiimm.（4）式称为二元函数),(yxf在),(baP的泰勒公式.在泰勒公式（4）中，令0,0ba，就得到二元函数),(yxf的麦克劳林公式（将h与k分别用x与y表示）：)0,0(!21)0,0(!11)0,0(),(2fyyxxfyyxxfyxf10),,()!1(1)0,0(!11yxfyxxnfyyxxnnn（5）在泰勒公式（4）中，当0n时，有kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),(，或10,),(),(),(),(kkbhafhkbhafbafkbhafyx.（6）（6）式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个.在泰勒公式（4）中，当1n时，有kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),()7(.10},),(),(2),({2122kkbhafhkkbhafhkbhafyyxyxx6例4.将函数yxeyxf),(展成麦克劳林公式.解：函数yxeyxf),(在2R存在任意阶连续偏导数，且1)0,0(,fyxeyxflmlmyxlmlm，m与l是任意非负整数.由公式（5），有.10,)()!1(1)(!1)(!21)(1)(12yxnnyxeyxnyxnyxyxe三、二元函数的极值1.极值点的定义定义设函数(,)fxy在点(,)Pab的邻域G有定义.若(,)ahbkG，有(,)(,)((,)(,))fahbkfabfahbkfab，则称(,)Pab是函数(,)fxy的极大点（极小点）.极大点（极小点）的函数值(,)fab称为函数(,)fxy的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.例如，点(1,2)是函数22(,)(1)(2)1fxyxy的极小点，极小值是(1,2)1f.事实上，(,)xy，有22(1)(2)0xy，于是(,)(1,2).fxyf2.极值点的必要条件定理3.若函数(,)fxy在点(,)Pab存在两个偏导数，且(,)Pab是函数(,)fxy的极值点，则(,)0xfab与(,)0yfab.证明：已知(,)Pab是函数(,)fxy的极值点，即xa是一元函数(,)fxb的极值.根据一元函数极值的必要条件，a是一元函数(,)fxb的稳定点，即7(,)0xfab.同法可证，(,)0yfab.方程组(,)0,(,)0,xyfxyfxy的解（坐标平面上某些点）称为函数(,)fxy的稳定点.★定理3指出，可微函数(,)fxy的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数（双面抛物面）22(,)fxyxy.2,2.xyfxfy显然，点(0,0)是函数22(,)fxyxy的稳定点.但点(0,0)并不是函数22(,)fxyxy的极值点.3.极值点的充分条件定理4.设函数(,)fxy有稳定点(,)Pab，且在点(,)Pab的邻域G存在二阶连续偏导数.令(,),(,),(,).xxxyyyAfabBfabCfab2.BAC1）若0，则(,)Pab是函数(,)fxy的极值点：（ⅰ）0(A或C0)，(,)Pab是函数(,)fxy的极小点.（ⅱ）0(A或C0)，(,)Pab是函数(,)fxy的极大点.2）若0，则(,)Pab不是函数(,)fxy的极值点.注：当判别式0时，稳定点(,)Pab可能是函数(,)fxy的极值点，也可能不是函数(,)fxy的极值点.例如，函数2222222123(,)(),(,)(),(,).fxyxyfxyxyfxyxy不难验证，(0,0)P是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点(0,0)P每个函数的判别式20BAC.显然，稳定点(0,0)P是函数2221(,)()fxyxy的极小点；8是函数2222(,)()fxyxy的极大点；却不是函数23(,)fxyxy的极值点.求可微函数f(x,y)的极值点的步骤：1）求偏导数，解方程组(,)0,(,)0,xyfxyfxy求稳定点.设其中一个稳定点是(,)Pab.2）求二阶偏导数，写出2(,)(,)(,).xyxxyyfxyfxyfxy3）将稳定点(,)Pab的坐标代入上式，得判别式2(,)(,)(,).xyxxyyfabfabfab再由的符号，根据下表判定(,)Pab是否是极值点：2BAC—+0A（或C）+—不是极值点不定(,)Pab是极小点是极大点例6.求函数33