二元选择(Probit&Logit)模型

硕士研究生课程作业作业题目:二元选择模型分析作业类型：模型分析课程名称:中级计量经济学授课老师:崔百胜专业班级:15级应用统计5班研究生姓名:谢亚利研究生学号:152502732完成时间2015年11月二元选择（Probit及logit）模型通常，经济计量模型都是假定隐变量是连续的，但是在现实经济决策中经常面临许多选择问题，即为离散选择模型。最为基础的便是二元选择模型其研究目的是研究具有给定特征得个体做某种而不做另一种选择的概率。如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。在实际经济问题中，被解释变量也可能是定性变量。如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的态度，某件事情的成功和失败等。当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。以下是常用得Probit及logit模型、实例分析并进行Eviews实现。一、二元选择模型原理：为了深刻地理解二元选择模型，首先从最简单的线性概率模型开始讨论。线性概率模型的回归形式为：ikikiiiuxxxy2211（1）其中：N是样本容量；k是解释变量个数；xj为第j个个体特征的取值。例如，x1表示收入；x2表示汽车的价格；x3表示消费者的偏好等。设yi表示取值为0和1的离散型随机变量：择（如不买车）如果作出的是第二种选择（如买车）如果作出的是第一种选01iy式（1）中ui为相互独立且均值为0的随机扰动项。iiiipyPyPyE)0(0)1(1)(（2）令pi=P(yi=1)，那么1-pi=P(yi=0)，于是又因为E(ui)=0，所以E(yi)=xixi=(x1i,x2i,…,xki),(i=1,2,…,k)，从而有下面的等式：βxiiiipyPyE)1()(（3）式(3)只有当xi的取值在(0,1)之间时才成立，否则就会产生矛盾，而在实际应用时很可能超出这个范围。因此，线性概率模型常常写成下面的形式：0,01,110,βxβxβxβxiiiiip(4)此时就可以把因变量看成是一个概率。那么扰动项的方差为：)](1)[()(22iiiiyEyEuE(5)或)1()1()()1()(222iiiiiiippppuEβxβx(6)由此可以看出，误差项具有异方差性。异方差性使得参数估计不再是有效的，修正异方差的一个方法就是使用加权最小二乘估计。但是加权最小二乘法无法保证预测值ŷ在(0,1)之内，这是线性概率模型一个严重的弱点。由于上述问题，我们考虑对线性概率模型进行一些变换，由此得到下面要讨论的模型。假设有一个未被观察到的潜在变量yi*，它与xi之间具有线性关系，即**iiiuyβx(7)其中：ui*是扰动项。yi和yi*的关系如下：0001**iiiyyy(8)yi*大于临界值0时，yi=1；小于等于0时，yi=0。这里把临界值选为0，但事实上只要xi包含有常数项，临界值的选择就是无关的，所以不妨设为0。这样)()()0(),|0()(1)()0(),|1(****βxβxβxβxβxβxiiiiiiiiiiiiFuPyPyPFuPyPyP(9)其中：F是ui*的分布函数，要求它是一个连续函数，并且是单调递增的。因此，原始的回归模型可以看成如下的一个回归模型：iiiuFyβx1(10)即yi关于它的条件均值的一个回归。根据分布函数F的不同，即可确定不同的类型。二、研究模型分析：1.Probit模型：如果将F定义为标准正态分布函数，dzXXYPiXiii)2z(-exp21)()|1(2''（11）)('iX会把概率取值限定在0、1之间，此时的概率模型为Probit模型。2.Logit模型：如果把F定义为Logistic分布函数，则产生的概率模型为Logit模型：)(exp1)(exp)()|1('''iiiiiXXXXYP（12）二、实例分析：例如书中7.1:Eviews实现：第一步，导入表7.2数据；第二步，选择模型；（1）Probit模型图1（2）Logit模型：图2第三步，分析结果：（1）Probit模型图3Probit模型参数分析表参数估计结果的上半部分包含与一般的回归结果类似的基本信息，标题包含关于估计方法（ML表示极大似然估计）和估计中所使用的样本的基本信息，也包括达到收敛要求的迭代次数（4次）。和计算系数协方差矩阵所使用方法的信息。在其下面显示的是系数的估计、渐近的标准误差、z-统计量、P值及各种有关统计量。当分布函数采用标准正态分布，即得到解释变量GPA（X1）、TUCE（X2）、PSI（X3）对因变量GRADE的Probit模型：321*426332.1051729.0625810.1452320.7ˆXXXY（13）（2）Logit模型：图4Probit模型参数分析表分布函数采用逻辑分布，即Logit模型为：321*379.2095.0826.2021.13ˆXXXY注：其他的数据说明如下：①loglikelihood是对数似然函数的最大值L(b)，b是未知参数的估计值。②Avg.loglikelihood是用观察值的个数N去除以对数似然函数L(b)，即对数似然函数的平均值。③Restr.Loglikelihood是除了常数以外所有系数被限制为0时的极大似然函数L(b)。④LR统计量检验除了常数以外所有系数都是0的假设，这类似于线性回归模型中的统计量，测试模型整体的显著性。圆括号中的数字表示自由度，它是该测试下约束变量的个数。⑤Probability（LRstat）是LR检验统计量的P值。在零假设下，LR检验统计量近似服从于自由度等于检验下约束变量的个数的2分布。此题中P0.01,则得到：此模型整体比较显著。⑥McFaddenR-squared是计算似然比率指标，正像它的名字所表示的，它同线性回归模型中的R2是类似的。它具有总是介于0和1之间的性质。可用标准化残差序列图来检验模型的充分性(程序2见附件)：以Logit模型为例：首先，用Eviews计算出标准化残差：其次利用SAS做出标准化残差序列图如下：图5标准化残差序列图从而可以看出，标准化残差介于-3~3之间，此模型较为充分。以Probit模型为例，对假设进行检验：对于Probit模型：利用其系数，本例按如下公式给出新教学法对学习成绩影响的概率，当PSI=0时：（938.212X）)938.210517.06258.14523.7()1P(1*XY（14）当PSI=1时：)4263.1938.210517.06258.14523.7()1P(1*XY（15）可用SAS做出新教学法对学习成绩的影响概率图:（程序1见附件）图6新教学法对学习成绩的影响概率由图6得，PSI对学习成绩影响的概率重大，接受新教学法成绩改善的概率明显高于不接受的概率。四、检验与预测：以Logit模型为例：1、进行拟合优度检验：首先，进行Eviews操作：其次，结果分析：图7Logit模型拟合优度检验分析表最下方给出了H-L和Andrews检验的x2统计量。由相伴概率的P值可以看出，在5%的显著性水平下，不能拒绝原假设，因而认为模型的拟合优度很高，拟合效果很好。2、预测：图8Logit模型预测表由此图，可进行其他新的数学方法对成绩的有效性预测。附件：程序1dataa;inputGPA@@;P0=probnorm(-7.4523+1.6258*GPA+0.0517*21.938);P1=probnorm(-7.4523+1.6258*GPA+0.0517*21.938+1.42);cards;2.062.392.632.662.672.742.752.762.832.832.862.872.892.892.923.033.13.123.163.263.283.323.393.513.533.543.573.623.653.9244;procsgplot;seriesx=GPAy=P0;seriesx=GPAy=P1;inset'PSI=0'/position=bottom;run;程序2:datab;inputir;cards;1-0.1652382242-0.2515266193-0.4800059224-0.1630655450.8687436396-0.1900453987-0.165001968-0.2331562599-0.353581213100.66478383911-0.15837989212-0.48431807113-0.689527056142.04344913615-0.75161195816-0.17641759617-0.23804445318-0.20034261119-1.199277332200.71648421321-0.255713052220.32428210323-0.56468158524-2.400189277250.43920824261.038473506270.75746998428-0.665925583290.433665696300.24045827631-1.060033344322.829577106;procsgplot;seriesx=iy=r;run;