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知识结构串联中考专题透析专题１ 确定二次函数的关系式,体会二次函数的意义．命题热点趋向:确定二次函数的关系式是运用函数解决问题的基本要求．通过对问题(数学问题或实际问题)的分析,先确定函数的关系式,然后利用二次函数的性质解决问题,这是中考试题常见的命题思路．解题思路梳理:确定二次函数的关系式有两种情形,一是根据实际问题中基本量之间的数量关系,经整理得到函数关系式;一是由二次函数图象上三个点的坐标,运用待定系数法即通过列三元一次方程组,确定二次项系数、一次项系数及常数项．例１ (２０１１重庆江津)已知双曲线y＝kx与抛物线y＝ax２＋bx＋c交于A(２,３),B(m,２),C(－３,n)三点．(１)求双曲线与抛物线的解析式;(２)在平面直角坐标系中描出点A、B、C,并求出△ABC的面积．(１) (２)图６Ｇ１精析:根据双曲线过点A,将点A的坐标代入方程便可求出未知数k,进而可确定B、C两点的坐标,求出a,b,c的值．解答:(１)把点A(２,３)代入y＝kx,得k＝６．∴ 反比例函数的解析式为y＝６x．把点B(m,２),C(－３,n)分别代入y＝６x,得m＝３,n＝－２．把A(２,３),B(３,２),C(－３,－２)分别代入y＝ax２＋bx＋c,得４a＋２b＋c＝３,９a＋３b＋c＝２,９a－３b＋c＝－２．{解得a＝－１３,b＝２３,c＝３．ìîíïïïïï∴ 抛物线的解析式为y＝－１３x２＋２３x＋３．(２)描点画图如图(２)所示．S△ABC＝１２(１＋６)×５－１２×１×１－１２×６×４＝３５２－１２－１２＝５．专题２ 用描点法画出二次函数的图象．命题热点趋向:考查二次函数往往涉及到它的图象,因为通过图象可以较直观的揭示二次函数的性质,并结合图象解决问题,体会数形结合的数学思想．试题常以解答题形式呈现,先描点画出函数的图象,在此基础上确定函数的关系式,再综合运用相关有联系的知识解决问题．解题思路梳理:根据题意,先描点画出函数的图象,通过图象的形状,可以初步判断所列出的函数是哪一类函数,然后进一步验证,确认此函数为二次函数后,再运用其性质解决问题．由于二次函数的图象是轴对称图形,所以在描点、连线时要给予关注．例２ (２０１２浙江台州)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系得部分数据如下表:时间t(秒)００．２０．４０．６０．８１．０１．２行驶距离s(米)０２．８５．２７．２８．８１０１０．８ (１)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;(２)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式;(３)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?②当t分别为t１,t２(t１＜t２)时,对应s的值分别为s１,s２,请比较s１t１与s２t２的大小,并解释比较结果的实际意义．图６Ｇ２精析:(１)描点,用平滑曲线连接即可;(２)设出二次函数解析式,把３个点的坐标代入可得二次函数解析式,进而再把其余的点代入验证是否在二次函数上;(３)①汽车在刹车时间最长时停止,利用公式法,结合(２)得到的函数解析式,求得相应的最值即可;②分别求得所给代数式的值,根据所给时间的大小,比较即可．解答:(１)描点画图如图所示:图６Ｇ３(２)由散点图可知该函数为二次函数,设二次函数的解析式为s＝at２＋bt＋c,∵ 抛物线经过点(０,０),∴ c＝０．又由点(０．２,２．８),(１,１０),得０．０４a＋０．２b＝２．８,a＋b＝１０,{解得a＝－５,b＝１５．∴ 二次函数的解析式为s＝－５t２＋１５t．经检验,其余点均在s＝－５t２＋１５t上．(３)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离,当t＝－１５２×(－５)＝３２时,滑行距离最大,s＝０－１５２４×(－５)＝２２５２０＝４５４,即刹车后汽车行驶了４５４米才停止．②∵ s＝－５t２＋１５t,∴ s１＝－５t２１＋１５t１,s２＝－５t２２＋１５t２．∴ s１t１＝－５t２１＋１５t１t１＝－５t１＋１５．同理s２t２＝－５t２＋１５,∴ t１＜t２．∴ s１t１＞s２t２．其实际意义是刹车后到t２时间内的平均速度小于刹车后到t１时间内的平均速度．点拨:考查二次函数的应用;结合实际意义比较刹车时的平均速度的大小是解决本题的难点．例３ (２０１２山东济南)如图,二次函数的图象经过(－２,－１),(１,１)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( )．图６Ｇ４A．y的最大值小于０B．当x＝０时,y的值大于１C．当x＝－１时,y的值大于１D．当x＝－３时,y的值小于０解答:D．点拨:A．由图象知,点(１,１)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于１,不小于０,故本选项错误;B．由图象知,当x＝０时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在点(１,１)的左边,故y＜１,故本选项错误;C．对称轴在点(１,１)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,因为－１＜１,所以x＝－１时,y的值小于x＝－１时,y的值１,即当x＝－１时,y的值小于１,故本选项错误;D．当x＝－３时,函数图象上的点在点(－２,－１)的左边,所以y的值小于０,故本选项正确．所以本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时,需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识．例４ (２０１２广东珠海)如图,二次函数y＝(x－２)２＋m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(１,０)及点B．(１)求二次函数与一次函数的解析式;(２)根据图象,写出满足kx＋b≥(x－２)２＋m的x的取值范围．图６Ｇ５精析:(１)将点A(１,０)代入y＝(x－２)２＋m求出m的值,根据点的对称性,将y＝３代入二次函数解析式求出点B的横坐标,再根据待定系数法求出一次函数的解析式;(２)根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx＋b≥(x－２)２＋m的x的取值范围．解答:(１)将点A(１,０)代入y＝(x－２)２＋m,得(１－２)２＋m＝０,１＋m＝０,m＝－１,则二次函数解析式为y＝(x－２)２－１．当x＝０时,y＝４－１＝３,故点C的坐标为(０,３),由于C和B关于对称轴对称,在设点B的坐标为(x,３),令y＝３,有(x－２)２－１＝３,解得x＝４或x＝０．则点B的坐标为(４,３)．设一次函数解析式为y＝kx＋b,将A(１,０),B(４,３)代入y＝kx＋b,得k＋b＝０,４k＋b＝３,{解得k＝１,b＝－１,{则一次函数解析式为y＝x－１;(２)∵ 点A、B的坐标为(１,０),(４,３),∴ 当kx＋b≥(x－２)２＋m时,１≤x≤４．点拨:本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组,求出点B的坐标是解题的关键．例５ (２０１２江苏无锡)如图,在边长为２４cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方形形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知点E、F在边AB上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE＝BF＝x(cm)．(１)若折成的包装盒恰好是正方体,试求这个包装盒的体积V;(２)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值?图６Ｇ６精析:(１)根据折叠前后图形特点,若折成的包装盒恰好是个正方体,则这个包装盒的长、宽、高相等,利用等腰直角三角形的性质,可以用x形式表示出AE、EF、BF的长度,再利用正方形ABCD的边长为２４cm,构造有关x的方程,进一步求出其值．正方体的体积公式:V＝a３,其中a表示正方体的边长．(２)用利用等腰直角三角形的性质,可以用含x的式子表示出AE、EF、BF的长度,进一步求出包装盒的表面(不含下底面)S＝４ah＋a２＝４x２(１２－x)＋(２x)２＝－６x２＋９６x＝－６(x－８)２＋３８４,利用二次函数的知识求其最值．解答:(１)根据题意,知这个正方形的底面边长a＝２x,EF＝２a＝２x,∴ x＋２x＋x＝２４．∴ x＝６．∴ a＝６２,V＝a３＝(６２)３＝４３２２(cm３)．(２)设包装盒的底面边长为acm,高为hcm,则a＝２x,h＝２４－２x２＝２(１２－x)．∴ S＝４ah＋a２＝４２x２(１２－x)＋(２x)２＝－６x２＋９６x＝－６(x－８)２＋３８４．∵ ０＜x＜１２,∴ 当x＝８时,S取得最大值３８４cm２．点拨:本题利用折叠考查了学生的空间想象能力,用含x的式子正确表示出相关线段的长度,进一步求出相关的体积和面积表达形式,利用二次函数求代数式的最值,把平面几何与代数的知识揉和在一起,难度属于中等偏上．专题３ 从图象上认识二次函数的性质．命题热点趋向:二次函数的性质是中考重点考查内容之一,具体包含二次函数的增减性、最大值或最小值,以及函数图象的开口方向、对称轴,以上性质都可以很直观地从图象中观察得到,近几年中考中涉及二次函数的试题,关注性质的应用,也常常将图象呈现出来．解题思路梳理:根据二次函数的图象,可以判断图象的开口方向和对称轴,也可以判断出函数与自变量之间的变化情况、函数是否有最大值(或最小值),以上也是学生对二次函数性质的基本描述角度,要充分利用图象解决问题．例６ (２０１１山东德州)已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示,则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是( )．图６Ｇ７精析:由图可知,a＝１,b＜－１,所以函数y＝ax＋b的斜率为１,大于０,并且当x＝０时,y＝b＜－１,故选D．解答:D．点拨:二次函数的图象对于学生理解二次函数的性质很有帮助,能直观的反映二次函数与一元二次方程,二次函数与一元二次不等式的关系．二次函数部分是中考的必考内容,但作图题在中考中不太多见．例７ (２０１２广西柳州)已知抛物线y＝３４(x－１)２－３．(１)写出抛物线的开口方向、对称轴;(２)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值;(３)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式．精析:(１)根据二次函数的性质,写出开口方向与对称轴即可;(２)根据a是正数确定有最小值,再根据函数解析式写出最小值;(３)分别求出点P、Q的坐标,再根据待定系数法求函数解析式解答．解答:(１)抛物线y＝３４(x－１)２－３,∵ a＝３４＞０,∴ 抛物线的开口向上,对称轴为x＝１．(２)∵ a＝３４＞０,∴ 函数y有最小值,最小值为－３．(３)令x＝０,则y＝３４(０－１)２－３＝－９４,所以点P的坐标为０,－９４(),令y＝０,则３４(x－１)２－３＝０,解得x１＝－１,x２＝３,所以点Q的坐标为(－１,０)或(３,０),当点P０,－９４(),Q(－１,０)时,设直线PQ的解析式为y＝kx＋b,则b＝－９４,－k＋b＝０,{解得k＝－９４,b＝－９４,所以直线PQ的解析式为y＝－９４x－９４．当点P０,－９４(),Q(３,０)时,设直线PQ的解析式为y＝mx＋n,则n＝－９４,３m＋n＝０,{解得m＝３４,n＝－９４,所以直线PQ的解析式为y＝３４x－９４．综上所述,直线PQ的解析式为y＝－９４x－９４或y＝３４x－９４．点拨:本题主要考查了二次函数的性质,二次函数的最值问题,待定系数法求函数解析式,以及抛物线与x轴的交点问题,是基础题,熟记二次函数的开口方向,对称轴解析式与二次函数的系数的关系是解题的关键．专题４ 根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)．命题热点趋向:确定一个二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,这是中考常考的内容,必须熟练掌握．回顾近几年的中考试题,有的是直接给出函数关系式,以数学问题的形式直接考查,有的则是含在解决实际问题中进行考查,确定了图象的开口方向和顶点坐标也就确定了函数的最大值或最小值．解题思路梳理:将问题中的二次函数整理成形如y＝ax２＋bx＋c的形式,确定a,b,c的值,然后