多边形内角和

授课教师:韩艳翔2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008度的多边形图案多有意义！行吗？它是几边形？能否利用三角形知识求出四边形的内角和呢？任意四边形的内角和是多少度?正方形、长方形的内角和是多少度？三角形内角和是多少度?过四边形的一个顶点作其对角线，可将四边形分为２个三角形，由图知，四边形的内角和为：180°×2＝360°方法一：在四边形内任找一点，作该点与四个顶点的连线，可将四边形分为４个三角形．由图知，四边形的内角和为：方法二：180°×4－360°＝360°1234在四边形一边上找一点，作该点与另两个顶点的连线，可将四边形分为3个三角形．由图知，四边形的内角和为：180°×3－180°＝360°方法三：123180°×3－180°＝360°在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线．由图知，四边形的内角和为：12方法四:请选择一种你喜欢的方法，试说明五边形、六边形的内角和。ACEDB内角和=3×180°=540°．ACDEB内角和=4×180°－180°=540°．OACDEBO内角和=5×180°－360°=540°．OCEDAB内角和=4×180°－180°=540°．n边形的内角和等于（n－2）×180°由此等式我们可以知道：已知多边形的边数可以求出它的内角和，反之，已知多边形的内角和也可以求出它的边数。N边形的内角和如何表示呢?如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ABCD解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°因为∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．所以例1：1.八边形的内角和等于多少度？十边形呢？（8－2)×180°=1080°(10－2)×180°=1440°快速抢答2.一个多边形的内角和是900度,它是几边形?练习：求下列图形中x的值.140°x°x°120°150°2x°x°120°80°75°x°x°150°135°60°ABCDEAB∥CD(1)(2)(3)(4)2.已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数.解：设此多边形的边数为n，根据题意，得（n－2）·180°＝n·150解得n=12则这个多边形的边数为12条2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008度的多边形图案多有意义！行吗？它是几边形？通过这节课的学习活动你有哪些收获？你还有什么困惑吗？作业：习题7.32、5例２：如图，在六边形每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？DEFABC456123解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°.6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角，这些角的总和等于6×180°。这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于：6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°n边形外角和是多少度?探究发现外角和=n个平角-内角和结论：n边形的外角和等于360°=n×180°-(n-2)×180°=360°2.十边形的内角和为度，正八边形的内角和为度。3.多边形的边数增加1，内角和就增加度；多边形的边数由7增加到10，内角和增加度。4.已知一个多边形的内角和为1620°，则它的边数为。5.每个内角都是108°的多边形是边形．14401080180540115动动脑筋？智慧小屋有一张长方形的桌面，它的四个内角和为360°,现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？有几种情况？2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008度的多边形图案多有意义！行吗？它是几边形？作业课本P85习题7.3的4、5题180°×3－180°＝360°在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线．由图知，四边形的内角和为：121、我们学会了许多解决数学问题的思想方法，如将多边形问题转化为三角形问题，以及类比方法，化未知为已知的思想方法等。2通过探索多边形的内角和公式，我们尝试了从不同的角度寻求解决问题的方法，并且能有效地解决问题。3、我们还学会了运用多边形内角和公式进行相关计算。本节课收获例题与练习例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？解：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°∴∠B+∠D=360°－（∠A+∠C）=360°－180°=180°这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。CDAB怎样求n边形的内角和呢？A1A2A3A4A5An从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将n边形分为个三角形,n边形的内角和等于180°×.(n－3)(n－2)(n－2)1.十二边形的内角和为°2.一个多边形的内角和为1080°则这个多边形的边数为.3.一个四边形的四个内角之比为7：8：2：1,则这四个角的大小分别为°、°、°、°818001401604020例2：如图，在六边形的顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？考虑以下问题：1.任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得的总和是多少？3.上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？FABCDE543216从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线,它们将五边形分为.个三角形，五边形的内角和等于180°×.从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线,它将六边形分为个三角形，六边形的内角和等于180°×.3233442008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008度的多边形图案多有意义！行吗？它是几边形？解：六边形的外角和=总和－六边形的内角和=6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°想一想：n边形的外角和是多少度呢？（n的值是不小于3的任意正整数）n边形的外角和=n×180°－（n－2）×180°=2×180°=360°由此可得：多边形的外角和都等于360°(与边数无关)考考你1.一个多边形内角和与外角和相等，它是边形。2.一个多边形的每个外角都是36°，这个多边形是边形。3.已知某多边形的内角和与外角和的比为9：2，则它是边形。四十十一7.3.2多边形的内角和一、教材分析从教材的编排上,本节课作为七年级第八章的第三节是承上启下的一节,在内容上,从三角形的内角和到四边形的内角和到多边形的内角和环环相扣,前面的知识为后边的知识做了铺垫,知识联系性比较强.在编写意图上,编者有意从简单的几何图形入手,让学生经历探索、猜想、归纳等过程,发展了学生的合情推理能力.二、教学目标分析1、知识与技能掌握多边形内角和与外角和定理，进一步了解转化的数学思想。2、过程与方法经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。3、情感态度与价值观让学生体验猜想得到证实的成功的成功的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造。4、教学重点探索多边形内角和公式5、教学难点转化的数学思维方法；探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。三、教法和学法分析本次课改很大程度上借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论，突出学生独立数学思考活动，希望通过活动使学生主动探索、实践、交流，达到掌握知识的目的，按新的课程理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”及七年级学生的特点，我确定如下的教学方法：1、课堂组织策略利用学生的好奇心，设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与、大胆猜想、积极思考，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的有关内容。2、学生学习策略明确学习目标，在教师的组织、引导、点拨下进行主动探索、实践、交流等活动。3、辅助策略利用多媒体课件展示三角形内角和向多边形内角和转化。四、教学过程设计整个教学过程分成大步完成：1、开门见山，引入新课2、合作交流，探索新知首先解决四边形内角和的问题，通过转化为三角形问题来解决3、归纳总结、构建体系更进一步解决五边形内角和，乃至六边形、七边形直到N边形的内角和，都能用同样的方法解决。多边形内角和已得出，对外角和更是水到渠成，这时要适当的总结，让学生自己得到零散的知识体系。