2017-2019三年高考-数学(文科)分类汇编-专题19-不等式选讲

专题19不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc．所以222111abcabc．（2）因为,,abc为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac=24．所以333()()()24abbcca．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().fxxaxxxa（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）若(,1)x时，()0fx，求a的取值范围．【答案】（1）(,1)；（2）[1,)【解析】（1）当a=1时，()=|1|+|2|(1)fxxxxx．当1x时，2()2(1)0fxx；当1x时，()0fx．所以，不等式()0fx的解集为(,1)．（2）因为()=0fa，所以1a．当1a，(,1)x时，()=()+(2)()=2()(1)0fxaxxxxaaxx．所以，a的取值范围是[1,)．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,xyzR，且1xyz．（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]xyz222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]xyzxyyzzx2223(1)(1)(1)xyz，故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz，当且仅当x=53，y=–13，13z时等号成立．所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]xyza222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]xyzaxyyzazax2223(2)(1)()xyza，故由已知2222(2)(2)(1)()3axyza，当且仅当43ax，13ay，223az时等号成立．因此222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a．由题设知2(2)133a，解得3a或1a．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．4．【2019年高考江苏卷数学】设xR，解不等式||+|21|2xx．【答案】1{|1}3xxx或．【解析】当x0时，原不等式可化为122xx，解得x13；当0≤x≤12时，原不等式可化为x+1–2x2，即x–1，无解；当x12时，原不等式可化为x+2x–12，解得x1．综上，原不等式的解集为1{|1}3xxx或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|fxxax．（1）当1a时，求不等式()1fx的解集；（2）若(0,1)x时不等式()fxx成立，求a的取值范围．【答案】（1）1{|}2xx；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a时，()|1||1|fxxx，即2,1,()2,11,2,1.xfxxxx故不等式()1fx的解集为1{|}2xx．（2）当(0,1)x时|1||1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1|1ax成立．若0a，则当(0,1)x时|1|1ax；若0a，|1|1ax的解集为20xa，所以21a，故02a．综上，a的取值范围为(0,2]．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）若()1fx，求a的取值范围．【答案】（1）{|23}xx；（2）(,6][2,)．【解析】（1）当1a时，24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx可得()0fx的解集为{|23}xx．（2）()1fx等价于|||2|4xax．而|||2||2|xaxa，且当2x时等号成立．故()1fx等价于|2|4a．由|2|4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(,6][2,)．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数211fxxx．（1）画出yfx的图像；（2）当0x∈，，fxaxb≤，求ab的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）ab的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23,1.xxfxxxxx()yfx的图像如图所示．（2）由（1）知，()yfx的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a且2b时，()fxaxb在[0,)成立，因此ab的最小值为5．8．【2018年高考江苏卷数学】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求222xyz的最小值．【答案】222xyz的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)xyzxyz．因为22=6xyz，所以2224xyz，当且仅当122xyz时，不等式取等号，此时244333xyz，，，所以222xyz的最小值为4．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2axxxf，|1||1|)(xxxg．（1）当1a时，求不等式)()(xgxf的解集；（2）若不等式)()(xgxf的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．【答案】（1）117{|1}2xx；（2）[1,1]．【解析】（1）当1a时，不等式()()fxgx等价于2|1||1|40xxxx．①当1x时，①式化为2340xx，无解；当11x时，①式化为220xx，从而11x；当1x时，①式化为240xx，从而11712x．所以()()fxgx的解集为117{|1}2xx．（2）当[1,1]x时，()2gx．所以()()fxgx的解集包含[1,1]，等价于当[1,1]x时()2fx．又()fx在[1,1]的最小值必为(1)f与(1)f之一，所以(1)2f且(1)2f，得11a．所以a的取值范围为[1,1]．【名师点睛】形如||||xaxbc（或c）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a，(,]ab，(,)b（此处设ab）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数1||||yxaxb和2yc的图像，结合图像求解．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2abab．证明：（1）55()()4abab；（2）2ab．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）556556ababaababb2333344222244.abababababab（2）因为3322333abaababb232332432,4ababababab所以38ab，因此2ab．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式2fxxxm的解集非空，求m的取值范围．【答案】（1）1xx；（2）54-，【解析】（1）31211232,xfxx,x,x，当1x时，1fx无解；当12x时，由1fx得，211x，解得12x；当2x时，由1fx解得2x．所以1fx的解集为1xx．（2）由2fxxxm得212mxxxx，而2223551212244xxxxxxxxx-，且当32x时，25124xxxx．故m的取值范围为54-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,abcd为实数，且22224,16,abcd证明：8.acbd≤【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得22222()()()acbdabcd，因为22224,16abcd，所以2()64acbd，因此8acbd．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则（22212naaa）（22212nbbb）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi（i＝1，2，…，n）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()acbdabcd，代入即得结论．