第五讲-罗尔定理的应用

第五讲  罗尔定理的应用 一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1设01,,,naaa为，为满足1200231naaaan++++=+的实数，证明方程20120nnaaxaxax++++=在(0,1)内至少有一个实根。例2设()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，0ba，证明方程222[()()]()()xfbfabafx′−=−在(,)ab内至少存在一个实根。例3设,,abc为实数，求证方程2xaxbxce++=至多有三个实根。例 4 证明方程2210xx−−=有且仅有三个不同的实根。二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式 例5设()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()()0fafb==，证明：至少存在一点(,)abξ∈，使得()()0ffξξ′+=例6设()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()()0fafb==，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)abξ∈，使得()()ffξλξ′=例7设()fx、()gx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()()0fafb==，证明：至少存在一点(,)abξ∈，使得()()()0ffgξξξ′′+=例8设()fx、()gx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()()0fafb==，()0gx′≠，证明：至少存在一点(,)abξ∈，使得()()()()fgfgξξξξ′′=例9设()fx在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(0)0f=，而当(0,1)x∈时，()0fx≠，证明：对任意正整数n，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()(1)()(1)nffffξξξξ′′−=−例10设()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()()0fafb⋅，()02abfaf+⎛⎞⋅⎜⎟⎝⎠，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)abξ∈，使得()()ffξλξ′=例11设()fx在[0,1]上可导，(1)2(0)ff=，证明：存在(0,1)c∈，使得(1)()()cfcfc′+=例12设()fx在[0,1]上二阶可导，且(0)0f′=，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得2()(1)()0ffξξξ′′′−−=例13设()fx在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f=，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得1()1()ffξξξ⎛⎞′=−⎜⎟⎝⎠例14设()fx、()gx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()0gx′≠，证明：至少存在一点(,)abξ∈，使得()()()()()()faffggbgξξξξ′−=′−注：类似的题目举不胜举。通过练习，重要的是体会如何构造辅助函数，初步掌握其技巧。   例1的提示：令231120()231nnaaafxaxxxxn+=+++++例2的提示：令222()[()()]()()Fxfbfaxbafx=−−−例3的提示：（反证）假设方程2()0xfxaxbxce=++−=有四个实根，则()0fx′=，()0fx′′=分别有三个和两个实根，但()20xfxae′′=−=至多一个实根。例4的证明：设2()21xfxx=−−，显然(0)(1)0ff==，即0,1xx==为方程的两个根。又易知(3)0f、(5)0f，则由零点定理，方程在(3,5)内至少有一个根ξ。假设方程还有根1ξ，不妨设1ξξ，则()fx在[0,1]、[1,]ξ、1[,]ξξ上都满足罗尔定理，可得123()()()0fffηηη′′′===又()2ln22xfxx′=−在12[,]ηη、23[,]ηη上满足罗尔定理，可得12()()fxfx′′′′=即2()2ln220xfx′′=−=有两个实根，这是不可能的。例5的提示：令()()xFxefx=例6的提示：令()()xFxefxλ−=例7的提示：令()()()gxFxefx=例8的提示：令()()()fxFxgx=例9的提示：令()()(1)nFxfxfx=−例10的提示：令()()xFxefxλ−=例11的提示：令()()1fxFxx=+例12的提示：令11()()xFxefx−′=，并补充定义(1)0F=例13的提示：令()()xFxxefx−=例14的提示：令()[()()][()()]Fxfafxgxgb=−−，或()()()()()()()Fxfagxfxgxfxgb=−+