2015 考研数学二真题

绝密★启用前2015年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册的指定位置上填写考生姓名和考生编号，在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号的信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，须将答题卡和试题册按顺序交回。（考生必填）考生编号考生姓名数学（二）试题第1页（共3页）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。(1)下列反常积分收敛的是(A)21dxx.(B)2lndxxx.(C)21dlnxxx.(D)2dxxxe.(2)函数20sinlim(1)xtttfxx在(,)内(A)连续.(B)有可去间断点.(C)有跳跃间断点.(D)有无穷间断点.(3)设函数1cos,00,0xxxfxx≤(0,0)，若'fx在0x处连续，则(A)0.(B)01≤.(C)2.(D)02≤.(4)设函数()fx在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如右图所示，则曲线()yfx的拐点的个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(5)设函数,fuv满足22,yfxyxyx，则11uvfu与11uvfv依次是(A)1,02.(B)10,2.(C)1,02.(D)10,2.(6)设D是第一象限由曲线fx，41xy与直线yx，3yx围成的平面区域，函数,fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy(A)13sin2142sin2d(cos,sin)dfrrrr.(B)1sin23142sin2d(cos,sin)dfrrrr.(C)13sin2142sin2d(cos,sin)dfrrr.(D)1sin23142sin2d(cos,sin)dfrrr.数学（二）试题第2页（共3页）(7)设矩阵21111214aaA，21ddb.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为(A),ad.(B),ad.(C),ad.(D),ad.(8)设二次型123,,fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,,)Peee，若132(,,)Qeee则123(,,)fxxx在正交变换xQy下的标准形为(A)2221232yyy.(B)2221232yyy.(C)2221232yyy.(D)2221232yyy.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。(9)设3arctan3xtytt，则212ddtyx.(10)函数2()2xfxx在0x处的n阶导数()(0)nf.(11)设()fx连续，20dxxxftt，若11,15，则(1)f.(12)设函数yyx是微分方程'''20yyy的解，且在0x处()yx取得极值3，则()yx=.(13)若函数,zzxy由方程231xyzexyz确定，则dz0,0=.(14)若3阶矩阵A的特征值为2，2，1，且2BAAE，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B.三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。(15)(本题满分10分)设函数()ln(1)sinfxxaxbxx，3()gxkx.若()fx与()gx在0x时是等价无穷小，求,,abk的值.(16)(本题满分10分)设0A，D是由曲线段sin(0)2yAxx≤≤及直线0y，2x所围成的平面区域，1V，2V分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若12VV，求A的值.数学（二）试题第3页（共3页）(17)(本题满分10分)已知函数(,)fxy满足(,)2(1)xxyfxyye，'(,0)(1)xxfxxe，2(0,)2fyyy，求(,)fxy的极值.(18)(本题满分10分)计算二重积分()ddDxxyxy，其中222(,)2,Dxyxyyx≤≥.(19)(本题满分10分)已知函数21211d1dxxfxtttt，求fx零点的个数.(20)(本题满分11分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？(21)(本题满分11分)已知函数fx在区间[+)a，上具有2阶导数,0fa,0fx,''0fx,设ba，曲线yfx在点,bfb处的切线与x轴的交点是00x，，证明0axb.(22)(本题满分11分)设矩阵A101101aaa，且3AO.()求a的值.()若矩阵X满足22XXAAXAXAE，E为3阶单位矩阵，求X.(23)(本题满分11分)设矩阵A02313312a相似于矩阵B12000031b.()求,ab的值.()求可逆矩阵P，使1PAP为对角阵.