周培源力学竞赛辅导1

能量原理1-1引言分析、求解杆件的应力、变形和位移：（一）应用平衡方程、变形协调（几何方程）、物理方程（二）能量法（既满足平衡，又满足变形协调与连续）能量法的优点：分析过程简单、应用范围广、具体为：（1）可确定任意一点、任意方向的位移（2）可确定位移函数（3）既可求解位移，又可求解内力、应力（4）既适用于线弹性问题，又适用于非线弹性问题（5）直接用于求解超静定问题（6）容易扩展到二维和三维问题1-2基本概念（一）广义力与广义位移（用FΔ表示）广义力可以是集中力、分布力、力偶、分布力偶、体力、面力广义位移是广义力作功时所对应的位移（线位移与角位移）（二）广义应力与广义应变广义应力——正应力与切应力广义应变——线应变与切应变（三）虚位移满足约束条件和变形协调、连续条件一切可能的微小位移能量原理例1判断下列各个位移是否是虚位移功和余功互补，为常力作功（四）功和余功（五）应变能和余应变能应变能和余应变能互为余函数例2杆件的应变能和余应变能的计算（六）虚功外力虚功与内力虚功力在虚位移上作的功——虚功例3虚功能量原理1-3互等定理1）功的互等定理两个不同的广义力系作用在相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论),...,2,1(),...,2,1(njFmiFSjRi和njjisjmiijRiFF11力系在力系引起的位移上所做的功，等于力系在力系引起的位移上所做的功（见图）RiFSjFSjFRiF能量原理1-3互等定理2）位移互等定理两个不同的广义力（各自只有1个力）作用在相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论jiFF和jijijiFF广义力在广义力引起的位移上所做的功，等于广义力在广义力引起的位移上所做的功，若iFjFjFiFjiFFjiij广义力在点i引起的与相对应的广义位移，在数值上等于广义力在点j引起的与相对应的广义位移iFiFjFjF能量原理1-3互等定理2）位移互等定理（图）jiij广义力在点i引起的与相对应的广义位移，在数值上等于广义力在点j引起的与相对应的广义位移iFiFjFjF若广义力称为广义单位力，则1jiFFjiij能量原理1-4用于弹性体的虚位移原理对于处于平衡状态的弹性体，自平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移所做的功（外力虚功），等于弹性体的内力在相应的虚位移所做的功（内力虚功）。即弹性体平衡ieWWieWW弹性体平衡理论力学的虚位移原理：具有双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是：主动力系在质点系的任意虚位移上所做的元功之和等于零。即01iniirFW能量原理不同的虚位移模式：1-4用于弹性体的虚位移原理•可以是与真实位移无关的任意位移•可以是真实位移的增量，此时，外力虚功全部转变为应变能增量，即弹性体平衡EWe•可以是某一部分或某些部分真实位移的增量，而不是全部真实位移的增量（见图）•可以是另一个与之相关系统的真实位移（见图）注意：以上讨论的虚位移原理不涉及材料的应力应变关系能量原理系统应变能对某一真实位移的偏导数，在数值上等于在这一真实位移处所施加的与之相对应的外力1-5虚位移原理的应用例4EI为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线例5用虚移原理导出卡式第一定理iiFE需要指出，以上阐述虚位移原理和推证卡式第一定理，均以梁的弯曲为例；其实对于任何变形均成立能量原理1-5虚位移原理的应用例6三铰二杆（线弹性材料）组成的结构ABC，加载后不能在原来位置上保持平衡，而在变形后的位置平衡。于是二杆的受力与点B的位移有关。此时，若通过二杆的伸长变形来确定点B的位移Δ，则所得到的位移与载荷不满足线性关系。若已知二杆的抗拉刚度为EA，杆长为l，载荷为F，试用卡式第一定理求解点B的位移Δ。3EAFl解得能量原理1-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用•虚位移原理：•虚力原理：是讨论弹性体变形协调的充要条件，即保持位移不变，使力有一个改变，称为虚力，从而导出虚力原理应用于弹性体的表达式，并由此派生出卡式第二定理。是讨论弹性体平衡的充要条件，即保持力不变，使真实位移产生一虚位移，从而导出虚位移原理应用于弹性体的表达式，并由此派生出卡式第一定理。虚力在真实位移上做的功，称为虚余功。能量原理1-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用1）虚力原理的表述：对于弹性体，保持变形协调的充分和必要条件是外虚余功等于内虚余功，即可用虚位移原理证明虚力原理（证明过程）icecWW外虚余功——虚力与相应的真实位移的乘积内虚余功——虚力引起的内力分量与相应的真实位移的乘积能量原理1-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用2）关于虚力和虚力原理的讨论•虚力是任意的，可与真实力无关，但必须满足平衡条件•与虚位移原理相似，只适用于小变形，与材料性能无关，即适用于线弹性和非线弹性材料能量原理•虚力可以是真实力的增量，此时虚力原理变为：外虚余功等于弹性体余应变能的增量，写成cecVW外虚余功余应变能增量1-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用3）由虚力原理推导出卡式第二定理（推导过程）能量原理ipicFE对于线性弹性体，即应力应变满足线性关系，则有ipiFE卡式第二定理线性弹性体或系统的应变能对某一个力的偏导数，等于与该力相应的位移。1-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用例7能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题解除多余约束，代以，并将这n个未知力作为已知量，写出结构的应变能表达式（以弯、扭变形为例）)......(21XnXiXXFFFF，，，，，xGIxTxEIxMxEIxMFFFFFFFFElplzzlyypmpjppXnXiXXd2)(d2)(d2)()...,...,,......(2222121，，，，，，，，式中)......(21XnXiXXFFFF，，，，，为多余约束力)...,...,(21pmpjppFFFF，，，为原主动力1-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题xGIxTxEIxMxEIxMFFFFFFFFElplzzlyypmpjppXnXiXXd2)(d2)(d2)()...,...,,......(2222121，，，，，，，，应用卡式第二定理，可建立求解这n个多余约束力的变形协调方程llpXnlzzXnzyyXnyXnnllpXlzzXzyyXyXllpXlzzXzyyXyXxGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFE0ddd.............................0ddd0ddd22222111111-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题解上述n个方程组，便可求出llpXnlzzXnzyyXnyXnnllpXlzzXzyyXyXllpXlzzXzyyXyXxGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFE0ddd.............................0ddd0ddd2222211111)......(21XnXiXXFFFF，，，，，上述n个方程组中，是对应于刚性约束；若为弹性约束，则，而等于已知的常量。),...,2,1(0nii0i1-6虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题例8例91-7单位载荷法（摩尔积分）能量原理应用虚位移原理和虚力原理均可以推导出单位载荷法一般表达式对于线性问题ylsyzlszylyzlzllNFFMMTlFddddd)d(dlzM上式对线性问题与非线性问题均成立......,dd,dd,d)d(xEIMxGITxEAFlzzzpN可以是线位移、角位移、相对位移、相对转角1-7单位载荷法（摩尔积分）能量原理对于线性问题xGAFFxGAFFxEIMMxEIMMxGITTxEAFFlsysyylszszzlyyylzzzlplNNdddddd对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）xhTTd)(d12xhTTMlzd)(121-7单位载荷法（摩尔积分）能量原理对于线性问题对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）计算摩尔积分的图乘法的两个前提条件能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：•静力学准则施加微小扰动，使刚体（弹性体或结构）偏离初始平衡位置（构形）；扰动解除后，刚体（弹性体或结构）仍能回复到初始平衡位置（构形），则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则是不稳定的。1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：•能量准则在所有平衡位置（构形）中，总势能取极小者是稳定的平衡位置（构形）；总势能取极大者是不稳定的平衡位置（构形）。1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：•动力学准则施加微小扰动，使刚体（弹性体或结构）在初始平衡位置（构形）附近作自由振动，若振动是有界的，则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则是不稳定的。1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理能量原理2）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）任何一机械系统或结构系统的势能，定义为该系统从实际形态运动到某一参考形态时所有作用力所做的功。为此，我们总是采取卸载的结构形态（构形）作为参考形态，因而，势能为从受载形态（位置）运动到卸载下的形态（位置）时，所有力所作的功。1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理结构的作用力包括外载荷和内力。内力势能应是受载结构中的应变能；载荷的位置势能为从其最终位置往回移至其初始位置所做的功，是负值。能量原理2）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理FVEV总势能应变能载荷的位置势能1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理3）势能驻值定理满足约束条件和变形连续条件的平衡构形的充要条件是，系统在这一构形下的总势能取驻值。即0V其中FVEV总势能应变能载荷的位置势能能量原理1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理4）弹性体的最小势能原理所有满足约束条件和变形连续条件的平衡构形中，只有使系统的总势能取极小值的平衡构形才是稳定的平衡构形。即界状态平衡构形处于稳定的临，平衡构形是不稳定的，平衡构形是稳定的，000VVV其中ΔV是从所考察的平衡构形到任意相邻的构形时，系统总势能的改变量。对于一维问题，用泰勒级数展开，有...!31!2132VVVV能量原理1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理4）弹性体的最小势能原理界状态平衡构形处于稳定的临，平衡构形是不稳定的，平衡构形是稳定的，000VVV...!31!2132VVVV因为构形是平衡的，由势能驻值定理，有，于是，ΔV的正负由高阶项的正负来判断。例如0V定性，余此类推的正负来判断系统的稳需要据，平衡构形是不稳定的，平衡构形是稳定的，VVVV3222000能量原理1-8弹性体平衡构形的势能驻值定理与最小势能原理例10分析两端任意约束，理想细长压杆的临界力例11一端固定，另一端自由，在均布轴向力作用下细长压杆的临界力能量原理