高考数学压轴题常考题型举例(复合函数)

高考数学压轴题常考题型举例（复合函数）1．已知函数fx满足12log1aafxxxa，其中0a，且1a。（1）对于函数fx，当1,1x时，2110fmfm，求实数m的取值范围；（2）当,2x时，4fx的取值范围恰为,0，求a的取值范围。解：0)((1)(log12axxaaxfa且)1a设xtalog，则tax∴)(1)(2ttaaaatf∴)(1)(2xxaaaaxf当)1,0(a时，∵012aaxaxa∴)(xfy在其定义域上当),1(a时，∵012aa，xa，xa∴)(xfy在其定义域上∴0a且1a，都有)(xfy为其定义域上的增函数又∵)()(1)(2xfaaaaxfxx∴)(xf为奇函数（1）∵当)1,1(x时，0)1()1(2mfmf∴)1()1()1(22mfmfmf∴112111111122mmmmm（2）当)2,(x时，∵4)()(xfxF在)2,(上，且值域为)0,(∴04)2()2(fF4)1(1222aaaa411242aaaaaa412∴32a例2.函数fx是21101xyxR的反函数，gx的图象与函数431xyx的图象关于直线1xy成轴对称图形，记Fxfxgx。（1）求Fx的解析式及其定义域；（2）试问Fx的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由。解：（1）11102xy12110yxyyx1110yyx11lg∴)11(11lg)(xxxxf∵)(xg的图象与134xxy的图象关于直线1xy成轴对称图形∴1)(xg的图象与1231134xxxxy的图象关于直线xy对称即：1)(xg是123xxy的反函数xyxy233)2(yxy23yyx∴231)(xxxg∴21)(xxg∴)11(2111lg)()()(xxxxxgxfxF（2）假设在)(xF的图象上存在不同的两点A、B使得ylAB轴，即Rc使得方程cxxx2111lg有两不等实根设12111xxxt，则t在（1，1）上且0t∴ttx11，3121ttx∴Rc使得方程cttt31lg有两不等正根32)1(31lgtcttct设)lg()(tth，32)1()(tct由函数图象可知：Rc，方程32)1(lgtct仅有唯一正根∴不存在点A、B符合题意。3.设Ra且ea,0为自然对数的底数，函数f（x）.2)(,12xxexaxgxe（1）求证：当1a时，)()(xgxf对一切非负实数x恒成立；（2）对于（0，1）内的任意常数a，是否存在与a有关的正常数0x，使得)()(00xgxf成立？如果存在，求出一个符合条件的0x；否则说明理由.分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法解：（1）当,121)()(,02xexxaxgxfx时令)1()(12)(2xxeaxxhexxaxh0,1xa),0[)(,0)(在xhxh上单调递增，)()(1)0()(xgxfhxh更多免费资料（2）0112)()(002000xexxaxgxf（1），需求一个0x，使（1）成立，只要求出112)(2xexxaxt的最小值，满足,0)(minxt)ln,0()1()(aeaxxtx在上↓在上),ln(a↑，1)1ln(ln2)ln()(2minaaaaatxt只需证明)1,0(01)1(lnln22aaaaa在内成立即可，令)(0)(ln21)(1)1ln(ln2)(22aaaaaaaa为增函数,01)1ln(ln20)1()(2aaaaa0))((minxt，故存在与a有关的正常数)10(ln0aax使（1）成立。