复合函数常考题型

复合函数常考题型复合函数常考的题型有：（1）求解定义域问题（已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域）遵循等位等效性原则。（2）判定函数单调性问题：已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.遵循同增异减原则。一、复合函数定义域问题：(1)、已知的定义域，求的定义域例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e）例2.若函数，则函数的定义域为______________。答案：（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3.已知的定义域为，则函数的定义域为_________。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4.已知，则函数的定义域为______________。答案：（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5.若函数的定义域为，则的定义域为____________。解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f对作用，所以，解得即的定义域为。二、复合函数单调性问题已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.例、证明：在区间ba,(）内任取两个数21,xx，使bxxa21因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg,记)(11xgu,)(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21ufuf,即))(())((21xgfxgf，故函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.复合函数的单调性是由两个函数共同决定“同向得增，异向得减”或“同增异减”.复合函数))((xgfy的单调性判断例1、求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆解：定义域130322xxxx或单调减区间是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)((1212xxxx∵312xx∴012xx0212xx∴)32(121xx)32(222xx又底数1210∴012yy即12yy∴y在),3(上是减函数奎屯王新敞新疆同理可证：y在)1,(上是增函数奎屯王新敞新疆例2、讨论函数)123(log)(2xxxfa的单调性.［解］由01232xx得函数的定义域为}.31,1|{xxx或则当1a时，若1x，∵1232xxu为增函数，∴)123(log)(2xxxfa为增函数.若31x，∵1232xxu为减函数.∴)123(log)(2xxxfa为减函数。当10a时，若1x，则)123(log)(2xxxfa为减函数，若31x，则)123(log)(2xxxfa为增函数.例3、.已知y=alog(2-xa)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.答案：0a1或1＜a＜2奎屯王新敞新疆例4、已知函数2)3()2(2axaaxxf（a为负整数）的图象经过点Rmm),0,2(，设)()()()],([)(xfxpgxFxffxg.问是否存在实数)0(pp使得)(xF在区间)]2(,(f上是减函数，且在区间)0),2((f上是减函数？并证明你的结论。［解析］由已知0)2(mf，得02)3(2amaam，其中.0,aRm∴0即09232aa，解得.37213721a∵a为负整数，∴.1a∴1)2(34)2(2xxxxf，即.1)(2xxf242221)1()]([)(xxxxffxg，∴.1)12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数)0(pp，使得)(xF满足条件，设21xx，∴].12)()[()()(2221222121pxxpxxxFxF∵3)2(f，当)3,(,21xx时，)(xF为减函数，∴0)()(21xFxF，∴.012)(,022212221pxxpxx∵3,321xx,∴182221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴.0116p①当)0,3(,21xx时,)(xF增函数,∴.0)()(21xFxF∵02221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴0116p.②由①、②可知161p，故存在.161p针对性课堂训练一、复合函数定义域问题部分1、已知函数)x(f的定义域为]1,0[，求函数)x(f2的定义域。答案：]1,1[2、已知函数)x23(f的定义域为]3,3[，求)x(f的定义域。答案：]9,3[3、已知函数)2x(fy的定义域为)0,1(，求|)1x2(|f的定义域。答案：)23,1()0,21(二、复合函数单调性问题：1、函数y＝21log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）答案（2，＋∞）2、找单调区间.（1）)1(232aayxx；（2）.2322xxy答案：(1)在]23,(上是增函数，在),23[上是减函数。（2）单调增区间是]1,1[，减区间是]3,1[。3、讨论)0,0(),1(logaaayxa且的单调性。答案：,1a时),0(为增函数，01a时，)0,(为增函数。