重积分的应用

1(,)ddDfxyxy直角坐标系下计算极坐标系下计算X型区域Y型区域D极点在区域的外部D极点在区域的边界上D极点在区域的内部(,,)dfxyzv直角坐标系“先一后二”“先二后一”21(,)(,)dd(,,)dxyzxyzxyDxyfxyzz21d(,,)ddzccDzfxyzxy柱面坐标系(cos,sin,)dddfzz球面坐标系2(,,)sindddFrrr重积分计算的基本方法——累次积分法2第六节一、平面图形的面积及立体体积二、曲面的面积三、物体的重心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用3dDD一、利用可以求平面图形的面积.(,)ddDfxyv二、利用或可以求立体的体积.2222..1262zxyzxy计算曲面及所围成的立体的体积例解：2222622zxyxoyzxy交线在面上的投影为：222xy，所求立体的体积为12VVV2222[(62)(2)]dDxyxy223(2)dDxy222003d(2)dρ6222xy42222..1262zxyzxy计算曲面及所围成的立体的体积例解：12VVV2222[(62)(2)]dDxyxy6另解：dVv2222622dddxyxyxyDxyz2222[(62)(2)]dDxyxy61.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性.分布在有界闭域上的整体量.2.用重积分解决问题的方法-----元素法问题：满足什么条件的量可用重积分解决？222xy5元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.01(,)dlim(,).niiiiDfxyf(1),d,d,D作图分割区域，取一代表性的小区域其面积也为(2)dd(,)d,Ufxy求出与对应的部分量的近似值(,)dxy其中，U量的微分元素(3)写出二重积分的表达式：(,)dDUfxy01(,,)dlim(,,).niiiiifxyzvfv元素法也可推广到三重积分上6设曲面S的方程为),,(yxfz曲面S在xoy面上的投影为区域D，如图，设小区域，Dd点(x,y)，d为S上过点M(x,y,z)的切平面，以d的边界为准线，母线平行于z轴的小柱面，截曲面S为，Sd截切平面为，Ad则有dSd.Axzoy),(yxfzsAd),(yxfzxyzsod),(yxMd),(yxMSdD三、利用二重积分的元素法求曲面面积：则面积A可看成曲面上各点),,(zyxM处小切平面的面积dA无限积累而成.01limdniSA7cosddA------曲面S的面积元素niyxffS1220d1lim.d122DyxffS),(yxfzxyzsod),(yxMAdd122yxff(,,1)xynff.面的夹角是切平面与xoy因为d为Ad在xoy面上的投影，则有dcosdA221cos1xxff01limdniSA8zdcosdAAddab1d2Aabcos21dabnkn9３．设曲面的方程为：),(xzhy曲面面积公式为：221()()dd.zxyyzxDAzx２．设曲面的方程为：),(zygx曲面面积公式为：221()()dd;yzxxyzDAyz同理可得曲面面积公式为：221()()ddxyzzxyDSxy即１．设曲面的方程为：),(yxfz,xyDxoy面上的投影区域为在(,)xyxyD即(,)yzyzD(,)zxzxD10xzy1D：axyx22,222yxaxxz解：)0,(yxxoyaxyx221D,222yxayyz2222azyxaxyx22例1.求球面，含在圆柱体内部的那部分面积.曲面方程：222zaxy由对称性知：14AA,221()()?zzxy于是1112224ddDaxyaxy2cos220014ddaaa.4222aaxoyaxyx221Dcosa,222yxaa面积为：12241ddxyDAzzxy10,:20cos.Da221()()zzxy于是12二、重心(,,)xyz(,,)xyz设密度函数为的空间物体V，在V上连续.为求得V的重心坐标,先对V作分割T,iV(,,)iiiiV是小块的质量可用近似代替,若把每一块看作质量集中在(,,)iii的质点时,整个物体就可用这n个质点的质点系来近似代替.由于质点系的重心坐标公式为iV(,,),iii在属于T的每一小块上任取一点于1311(,,),(,,)niiiiiinniiiiiVxV11(,,),(,,)niiiiiinniiiiiVyV11(,,),(,,)niiiiiinniiiiiVzV14的重心坐标:(,,)d,(,,)dVVxxyzVxxyzV(,,)d,(,,)dVVyxyzVyxyzV(,,)d.(,,)dVVzxyzVzxyzV当物体V的密度均匀分布时,即为常数时，则有0T时，当自然地可把它们的极限定义作为V15111d,d,d.VVVxxVyyVzzVVVV同样可以得到,密度函数为(,)xy的平面薄板D的重心坐标:(,)d(,)d,.(,)d(,)dDDDDxxyyxyxyxyxy当为常数时，则有1d,DxxD1d.DyyD16例2求密度均匀的上半椭球体的重心.解设椭球体由2222221,0xyzzabc表示.借助对0,0.xy又由为常数,所以称性知道dddd.2dπ3VVVzVzxyzzVabc232,438czabcabc故得2ddd,4Vzxyzabc即求得上半椭球体的重心坐标为3(0,0,).8c173.转动惯量质点对一个轴的转动惯量=质点的质量质点到轴的距离的平方.(1)质点对一个轴的转动惯量：xoyn设在平面上有个质点,它们分别由力学知识知道：xy该质点系对轴以及对轴的转动惯量依次为：21nxiiiIym，(2)质点系的转动惯量：12,,,,nmmm质量分别为1122(,),(,),,(,),nnxyxyxy位于点处21nyiiiIxm，2Imd因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.18xy(3)非均匀平面薄片对轴、轴的转动惯量：xoyD设有一平面薄片,占有面上的闭区域为,(,)xy在点处的(,),(,),xyxyD面密度为假定在上连续x求该薄片对轴的转动惯.xyIyI量以及对轴的转动惯量用元素法：d,D在上任取小块(,)d,xy则(,)d,mxy(,),xy这部分质量可近似地看作集中在点上x于是对轴的转动惯y量以及对轴的转动惯量元素为：2d(,)d,xIyxy得：2d(,)d,yIxxy2(,)d,xDIyxy2(,)d.yDIxxyxDyo(,)xyd2211nnxiiyiiiiIymIxm，，192300sindda例3.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.解:建立坐标系如图,222:0xyaDy2ddxDIyxy32sinddD214Ma半圆薄片的质量212MaoxyDaa2(,)d,xDIyxy2(,)d.yDIxxy20xyz（4）空间物体对轴、轴、轴的转动惯量：,(,,)(,,)xyzxyz占有空间有界闭区域在点处的密度为((,,)),,xyzxyz假定在上连续的物体对于轴的转动惯量依次为：xyzodv(,,)xyz22()(,,)d,xIyzxyzv22()(,,)d,yIxzxyzv22()(,,)d.zIxyxyzv2Imd21D4.平面薄片对质点的引力xoyD设有一平面薄片,占有面上的闭区域为,(,)xy在点处的(,),(,),xyxyD面密度为假定在上连续求该平面薄片对位于0(0,0,)(0).zMaa轴上的点处引力的单位质点的z薄片对轴上的单位质解:点的引力(,,),xyzFFFF,,,,.xyzFiFjFkFxyz其中分别为在轴上的分向量zydF0(0,0,)Mao(,)xyd(,,)(cos,cos,cos).yzxaaaaeaaa2222(,)dd,()GxyFxyad(,,)FxyaG为引力常数.x22(,,)(cos,cos,cos).yzxaaaaeaaa32222(,)d,()xDxyxFGxya32222(,)d,()yDxyyFGxya32222(,)d.()zDxyFaGxyaG为引力常数.d(,,)Fxya222cos()xxya222cos()yxya222cos()axya2222(,)dd,()GxyFxya23222rxyzG为引力常数推广到空间立体：设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,其密度函数rzxvdydF3(,,)dxxyzxFGvr3(,,)dyxyzyFGvr3(,,)dzxyzzFGvr24曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算三代一定)(二代一定(与方向有关)01(,)dlim(,)niiiLifxysfs(,)d(,)dLPxyxQxyy01lim[(,)(,)]niiiiiiiPxQydd(coscos)dLLPxQyPQs22(,)d[,]dLfxysftdd[(,)(,)]dLPxQyPQt25与路径无关的四个等价命题条件等价命题LyQxPdd(1)在G内与路径无关，(4)在G内存在u(x,y),，yQxPuddd使，xQyP(3)在G内，CyQxP,0dd(2)使闭曲线.GC在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立.261.定积分与不定积分的联系()d()()()()bafxxFbFaFxfx牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系()dddd()LDQPxyPxQyLxy沿的正向格林公式27第二类曲线积分ddLPxQy二代一定化为第一类线积分格林公式(L闭)QPxy=(更换路径)28计算中涉及的有关公式1.两类曲线积分的几何意义dLsL表示曲线的长度.dABxLx在轴上的投影(可正可负)dAByLy在轴上的投影(可正可负)BAxx=BAyy=闭区域D的面积.dd21LxyyxA29_______dd21LxyyxL422yx4.曲线积分，其中是沿逆时针方向一周.4()dd