复变函数论第三版钟玉泉PPT第1章

复变函数重庆交通大学复变函数教材：复变函数论(钟玉泉)主讲：方成玲电话：[phone]复变函数重庆交通大学为什么要学复变函数拿学分复变函数论是数学与应用数学专业的一门重要基础课，又是数学分析后继化、完备化课程。它在微分方程、概率论等等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一复变函数重庆交通大学复变函数论要学什么复数与复变函数解析函数复变函数的积分解析函数的幂级数表示法解析函数的洛朗展式与孤立奇点留数理论及其应用复变函数重庆交通大学怎样拿学分勤于自学认真完成作业复变函数重庆交通大学考核办法闭卷计分方式：期末70%，平时30%平时点名不到或者迟到按一学期以来点名次数扣分。上课主动回答问题并正确酌情加分。复变函数重庆交通大学交作业的注意事项单周的第一次课交作业作业每个班分为三组。比如一个班有30人，则第一组为学号为前十的同学，第二组为学号为学号为中间十个同学，剩下的为第三组。复变函数重庆交通大学第一章复数与复变函数第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点复变函数重庆交通大学第一节复数1.虚数单位:.,,称为虚数单位引入一个新数为了解方程的需要i.1:2在实数集中无解方程实例x对虚数单位的规定:;1)1(2i.)2(样的法则进行四则运算可以与实数在一起按同i一、复数的概念虚数单位的特性:则是正整数一般地，如果,n,14ni,14iin,124ni.34iin2.复数:.,,为复数我们称对于任意两实数iyxzyx,,的实部和虚部分别称为其中zyx).Im(),Re(zyzx记作;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当复变函数重庆交通大学两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.二、复数的代数运算,,222111iyxziyxz设两复数1.两复数的代数和:).()(212121yyixxzz2.两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz3.两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz4.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,zz共轭的复数记为与.,iyxziyxz则若))((yixyix22)(yix.22yx.,的积是一个实数两个共轭复数zz复变函数重庆交通大学6.共轭复数的性质:;)1(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)2(zz;)Im()Re()3(22zzzz).Im(2),Re(2)4(zizzzzz例1,43,5521iziz设.2121zzzz与求解iizz435521)43)(43()43)(55(iiii25)2015()2015(i.5157i21zz.5157i5.复数域:全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例.复变函数重庆交通大学例2证,,222111iyxziyxz设两复数).Re(2212121zzzzzz证明2121zzzz))(()()(22112211iyxiyxiyxiyx)()(21122121yxyxiyyxx)()(21122121yxyxiyyxx)(22121yyxx).Re(221zz).Re(22121212121zzzzzzzzzz或例3解设.125i化简,125iyxi,2)(12522xyiyxi122,522xyyx,2,3yx).23(125ii复变函数重庆交通大学三、复平面..,,,.),(面面叫复平这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数yxyxiyxz.),(表示可以用复平面上的点复数yxiyxz1.复数的模xyxyoiyxzPr),(yx,的模向量的长度称为z,表示可以用复平面上的向量复数OPiyxz.22yxrz记为显然下列各式成立,zx,zy,yxz.22zzzz复变函数重庆交通大学2.复数的辐角.Arg,,,0zzOPzz记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在,0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果).(π2Arg1为任意整数kkz,0,0,zz时当特殊地的全部辐角为那么z辐角不确定.辐角主值的定义:.arg,Argππ,)0(000zzz记作的主值称为的把满足的辐角中在,0x)2arctan2(xy其中辐角的主值0zzarg,0,0yx,0,0yx.0,0yx,arctanxy,2π,πarctanxy,π复变函数重庆交通大学3.利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zzxyo1z2z21zz2z4.复数和差的模的性质;)1(2121zzzz.)2(2121zzzz,2121故之间的距离和表示点因为zzzz1z2z21zzxyo1z2z两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.复变函数重庆交通大学.于实轴对称的在复平面内的位置是关和一对共轭复数zzxyoiyxziyxz5.复数的三角表示和指数表示利用直角坐标与极坐标的关系,sin,cosryrx复数可以表示成)sin(cosirz复数的三角表示式再利用欧拉公式,sincosiei复数可以表示成irez复数的指数表示式复变函数重庆交通大学例1解.,1cos1cosiez其中的实部和虚部求复数1cos1coszcossin1coscoscossin1coscosii2222)cos(sin)1cos(coscossin2)cos(sin1)cos(cosi.)(cos1coscos2cossin2)(cos1coscos2)(sin222izRezIm6.复数在几何上的应用举例下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形。复变函数重庆交通大学例1求下列方程所表示的曲线:.4)Im()3(;22)2(;2)1(ziziziz解的距离为表示所有与点方程22)1(iiz.2,的圆半径为即表示中心为i,iyxz设,2)1(iyx,2)1(22yx.4)1(22yx圆方程22)2(ziz距离相等和表示所有与点22i示的曲线就是连接点的点的轨迹，故方程表,iyxz设,22yixiyix化简后得.xy.点的轨迹.22的线段的垂直平分线和i4)Im()3(zi,iyxz设,)1(iyxzi,41)Im(yzi.3y所求曲线方程为复变函数重庆交通大学1.乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.四、复数的乘幂与方根两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.,2倍再把它的模扩大到r从几何上看,两复数对应的向量分别为,,21zz,21旋转一个角按逆时针方向先把z.21zzz就表示积所得向量2oxyr2r1r2z11zz注由于辐角的多值性,2121ArgArg)(Argzzzz两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.复变函数重庆交通大学定理二两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差..argarg)(arg,argzargz)arg(z:21212121不一定成立注zzzzz2.幂与根n次幂:,,nznzzn记作次幂的的乘积称为个相同复数.个nnzzzz.)sin(cos,ninrznnn有对于任何正整数.,,1上式仍成立为负整数时那么当如果我们定义nzznn复变函数重庆交通大学,sincos,1izrz即的模当.sincos)sin(cosninin.,为已知复数其中的根方程zwzwnnkinkrzwnnπ2sinπ2cos1)1,,2,1,0(nk推导过程如下:棣莫佛公式),sin(cosirz设),sin(cosiw根据棣莫佛公式,)sin(cosninwnn),sin(cosir,rn于是,coscosn,sinsinnπ,2kn显然),2,1,0(k,π2,1nkrn故nkinkrzwnnπ2sinπ2cos1复变函数重庆交通大学,1,,2,1,0时当nk:个相异的根得到n,sincos10ninrwn,π2sinπ2cos11ninrwn,.π)1(2sinπ)1(2cos11nninnrwnn当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.,时例如nknninnrwnnπ2sinπ2cos1ninrnsincos1.0w从几何上看,,个值就是以原点为中心的nzn.1个顶点边形的为半径的圆的内接正nnrn复变函数重庆交通大学例1.14的值计算i解4sin4cos21ii]424/sin424/[cos2184kiki).3,2,1,0(k,16sin16cos280iw即,169sin169cos281iw,1617sin1617cos282iw.1625sin1625cos283iw.28圆的正方形的四个顶点的心在原点半径为这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w.,,,030201i而且复变函数重庆交通大学1.2.1复平面点集的几个基本概念),(0zU定义1.1邻域:.:)(,的邻域内部的点的集合称为的圆为半径任意的正数为中心平面上以000zzzz记作:或N(z0)={z||z-z0|}.000的去心邻域确定的点的集合为所称由不等式zzz记作：或N0(z0)={z|0|z-z0|}第二节复平面上的点集),(00zU复变函数重庆交通大学定义1.2聚点、外点、孤立点.,,),(,的聚点称为那末的无穷多点都有的任意一个邻域如果对不必属于复平面中任意一点为为一平面点集设EzEzEzE000如果z0属于E，但不是E的聚点，则称z0为E的孤立点.如果z0不属于E，又不是E的聚点，则称z0为E的外点.z0为E的孤立点0:N(z0)E={z0}z0为E的外点0:N(z0)E=复变函数重庆交通大学定义1.3内点、开集、边界点、边界、闭集:.,,.,000的内点称为那末于该邻域内的所有点都属的一个邻域存在如果中任意一点为为一平面点集设EzEzEzE如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。z0为E