复变函数试题库

1复变函数一、选择题1.设函数()(,)(,)fzuxyivxy=+且),(yxu是区域D内的调和函数,则当),(yxv在D内是（C）时,)(zf在D内解析.A.可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzza的值为（B）(A)0(B)0;2(C)(D)2ii不存在3、0z是sin()zfzz的奇点类型是（D）(A)(B)(C)(D)一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点4、计算12()ie的结果是（B）(A)(B)(C)(D)iii05、下列函数在zS处处解析的是（C）(A)(B)(C)(D)zzzezzzezzRezf()=f()=f()=f()=6．当x〈0,y0时,argz=(C).A.xyarctan;B.xyarctan;Cxyarctan;D.2arctanxy.7．argz1z2=(A)..A．argz1+argz2;B.argz1+argz2+2k(k是整数);C.argz1+argz2+2k1（k1是某个整数）;D.argz1+argz2+.8.下列集合是有界闭区域的是（C）A0Rz;BRez2;C.1z且Imz0;D.1z且Rez0.29.方程z=t+)(Rtti在平面上表示的是（B）.A．直线y=x;B.双曲线y=x1;C椭圆周；D圆周10.函数)(zf=z在0z=处（A）.A.连续B.可导C.解析11.ii23=(A).A．i1iB2.iC32.iD1.12.函数w=f(z)仅在点z0可微，则w=f(z)在点z0（D）A解析；B某邻域内处处解析；C.不解析。13.shz是(D)函数A以2.为周期的；B以i2为周期的；C以i为周期的；D非周期。14.设1zi=+,则Im(sin)z=（B）.A.sin1ch1B.cos1sh1C.cos1ch115.若f(z)在D内解析，且)(______zf在D内解析，则（A）。A.f(z)在D内为一常数；B.Dzzf,0)(；C.f(z)在D内不是一个常量函数。D.以上都不对.16.积分22sin(1)zzdzz=-ò=（B）.A.1cosB.i21cosC.i2sin117．若v是u的共轭调和函数，则(D)的共轭调和函数。A．u是v；B.-u是v；C.u是-v;D.-v是u.18.1coszzdz(B).A．–1;B.0;C.1;D.i.319.设un=an++bni,若nunlim=0，由此（C）A.得出nu收敛；B.得出nu发散；C.不能判断nu的敛散性。20.1!nnnzn的收敛半径为（A）A0；B.;.;1DeCe21.设复数3(22)zi=-,则z的模和幅角的主值分别为（A）.A.45,8B.4,24C.47,2222.sin2z+cos2z=1(D).A.仅在实轴上成立；B.在第一象限成立；C.在上半复平面成立；D在复平面上成立。23．Cotz的零点和级（C）A,,Zkkz一级；B,,Zkkz二级；C,21kz一级；D,,2Zkkz一级。24.下列命题中,正确的是（C）.A.零的幅角为零B.仅存在一个z使1zz=-C.1zizi=25、1Re()zz-是（B）区域.A.有界区域B.单连通区域C.多连通区域26、在复数域内,下列数中为实数的是（A）.A.icosB.2(1)i-C.38-27、函数)(zf=2z将区域Re(z)1映射成（A）.A.214vu-B.214vu?C.241uv-28、下列函数中为解析函数的是（B）.4A.)(zf=2xiy-B.)(zf=sincosxchyixshy+C.)(zf=3323xiy-29、设0z是闭曲线c内一点,n为自然数,则0()ncdzzz-ò=（C）.A.0B.i2C.0或i230、下列积分中,其积分值不为零的是（C）.A.23zzdzz=-òB.1sinzzdzz=òC.51zzedzz=ò二、填空题31、复数方程13zei=-的解为5ln2(2)(012,3ikkpp++=北，，.32、5cos3sin(0t2)ztit表示的曲线是2222153xy。33、21()1nii11或。34、将函数1wz由zS中的1x映射wS中的图形方程表示为211-24uv2（）。35、sin2Arc2ln(23)2ki。36、函数()ln(1)fzz的支点是1,。37、114zz-++表示的区域是22143xy+38、复数4+3i的实部是4，虚部是3。39、由棣莫弗公式，(cos+isin)n=cosn+isinn.40、设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则在直角坐标系中，函数的C-R条件可表示为:,yuxuxvyu。41、函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),在区域D内解析的充分必要条件为:,yuxu、5xvyu、在D内连续。42、若函数f(z)在Sz平面上解析且有界，则f(z)必为常数。43、函数ze的周期为2i.44、幂级数0nnnz的和函数为2(1)zz.45、设21()1fzz，则()fz的定义域为zi.46、设函数)(zf在单连域D内解析,G(z)是它的一个原函数,且Dzz10,,则10()zzfzdzò=10()()GzGz-.47、0nnnz的收敛半径为1.48、Re(,0)znesz=1(1)!n.49.设iz，则izzz,2arg,1||，50.设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz3(1sin2)i.51.1||00)(zznzzdz2101inn.（n为自然数）52.幂级数0nnnz的收敛半径为1.53.若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是)('zf的1m.零点.54.函数ez的周期为2ki，()kz.55.方程083235zzz在单位圆内的零点个数为0.56.设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有i.57.函数||)(zzf的不解析点之集为R.658.0)1,1(Res4zz59、设函数)(zf=sin,00,0zzeAzzìï-+?ïíï=ïî在0z=处连续,则常数A=____________.答案：160、若z=a为f(z)的m阶极点,为g(z)的n阶极点(mn),则z=a为f(z)g(z)的mn+阶极点,为)()(zgzf的mn-阶极点.61、设22zi=-,则zarg=47,zln=37ln224ip+.62、设()sin,fzzz=则由)(zf所确定的),(yxu=sincosxxchyyxshy-,),(yxv=cossinxxchyyxchy+.63、函数)(zf=zzsin在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为0zp.64、设函数)(zf=22371zdzzzzz=++-ò,则(1)fi¢+=1226ipp-+.若)(zf=3235zdzzzzz=+-ò,则()fiⅱ=36p-65、当a=21时,22()ln()yfzaxyiarctgx=++在区域x0内解析66、函数)(zf=tgz在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为267、设3sinnnnzczz+?=-?=å,则20________,______________cc-==答案：1，-61三、解答题68、计算积分,)2(cdzixyx其中C原点到点1＋i的直线段。解：1+i的参数方程为x=t,y=t,0t1.7cdzixyx)(2=i102)1(dtit=1/3(-1+i)69、利用泰勒定理,将函数f(z)=ez在点z=0展开成幂级数。解：因为：f)(n=ez,所以f'（0）=1，f)0(''=1，………f)(n（0）=1且f（0）=1，于是ez=0!nnnz70、将函数f(z)=zzsin在0z+上展开成洛朗级数。解：f(z)=(1/z)sinz=1/znnnnz)1()!12(012=nnnnz)1()!12(02(0|z|)易证：上级数收敛。71、求函数f(z)=621zze在指定点z=0的留数。设f(z)=621zez，z=0是f(z)的孤立奇点。f(z)=61z(-2z-22!22z-........!3233z),(0|z|)所以，a1=-4/15即：f(z)在指定点的留数为—4/1572、设函数)(zf=3232()mynxyixlxy+++在复平面可导,试确定常数lnm,,并求8()fz¢.答案：由题意得3232(,)(,)uxymynxyvxyxlxyìï=+ïíï=+ïî利用2uvnxyxy抖==抖，得nl=222233uvmynxxlyyx抖=+=-=--抖，得3n=-，3l=-，1m=则22()6(33)uvfzixyixyxx抖¢=+=-+-抖23iz=73、试讨论定义于复平面内的函数2()fzz=的可导性.答案：由题意知22(,)(,)0uxyxyvxyìï=+ïíï=ïî，由于20uvxxy抖===抖，20uvyyx抖==-=抖可得00xyì=ïïíï=ïî由函数可导条件知，2()fzz=仅在0z=处可导。74、计算sinczdzò,其中c是从原点沿x轴至)0,1(0z,然后由0z沿直线x=1至)1,1(1z的折线段.答案：1001sinsinsinOZOZZZIzdzzdzzdz==+蝌?12II=+其中0OZ：zt=(01)t＃11100sincos|1cos1Itdtt==-=-ò10ZZ：1zit=+(01)t＃1112000sin(1)(1)sin(1)(1)cos(1)|cos(1)cos1Iitdititdititi=-+=---=-=--蝌cos11cos1sin11chish=--9所以1cos1(12)sin11Ichish=+--75.求下列函数在奇点处的留数241()zefzz-=.答案：241()zefzz-=的奇点为0,且0z=为其三阶极点.22401114Re(,0)lim()2!3zzzeeszz®--ⅱ==-或2341(2)(2)()[1(12]2!3!zzfzzz=-++++=322243zzz----有21414Re(,0)3zescz--==-76.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数221()(1)(2)fzzzz=--011z-答案：2211()(1)1(1)fzzz=---=2201(1)(1)nnzz+?=--å011z-=220(1)nnz+?-=-å011z-77、已知22(,)33,uxyxy=-试求),(yxv使()(,)(,)fzuxyivxy=+为解析函数且满10足(0)fi=答案：由于6vuxyx抖==抖所以(,)66()vxyxdyxyxj==+ò，6()vyxxj¶¢=+¶又由vuxy抖=-抖，即6()6yxyj¢+=所以()0xj¢=，()xCj=（C为常数）故(,)6vxyxyc=+，222()33(6)3fzxyxycizci=-++=+将条件(0)fi=代入可得1C=，因此，满足条件(0)fi=的函数2()3fzzi=+78、试证22(,)yuxyxy=+是在不包含原点的复平面内的调和函数,并求),(yxv使()(,)(,)fzuxyivxy=+为解析函数且满足()1fi=.答案：由于2222()uxyxxy?=?，223222362()uxyyxxy?=?22(0)xy+?22222()vxyyxy?=?，223222362()vxyyyxy?+=?即22220uvxy抖+=抖所以22(,)yuxyxy=+是调和函数22(0)xy+?222222(,)()()()vxyxvxydydygxyxyxy?===+?+蝌，2222222