复变函数论钟玉泉第四章

1第一节复级数的基本性质2、复数项级数3、复函数项级数4、解析函数项级数1、复数列的极限第四章解析函数的幂级数表示21.复数列的极限定义0,如任意给定相应地都能找到一个正整(),,nNnN数使在时:成立,}{时的极限当称为复数列那末nn记作.limnn.}{收敛于此时也称复数列n,),2,1(}{其中为一复数列设nn,nnniba,为一确定的复数又设iba复数列收敛的条件{}{}(1,2,)nnnaibnaib定理复数列收敛于的充要条件是lim,lim.nnnnaabb3,limnn如果那末对于任意给定的0就能找到一个正数N,,时当Nn,)()(ibaibann证,)()(bbiaaaannn从而有.limaann所以.limbbnn同理.2,2bbaann反之,如果,lim,limbbaannnn,时那末当Nn从而)()(ibaibannn)()(bbiaann.limnn所以,bbaann4下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.;)11()1(πnienn例1.cos)2(innn解;1)11(lim)11(lim)1(ππ1niniennnennn.)(2cos)2(neeninnnnn定理：复数列收敛的Cauchy准则{}(1,2,)nn复数列收敛的充要条件是:0:NnNpN,0,当时,对||npn;11)1(ninizn;1)1()2(niznn.1)3(2innenz练习52.复数项级数的收敛与发散定义{}{}(1,2,),nnnaibn设为一复数列121(4.1)nnn表达式称为复数项级数.nns21称为级数的部分和.若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,lim()nnss即1nns则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.定义：的收敛于复级数注Nsn.||,,0,01sNnNnkk有6定理4.1设n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:11,nnnnab分别收敛于a及b.复数项级数收敛的条件实数项级数证因为nns21)()(2121nnbbbiaaa,nni.11nnnnba都收敛和级数于是:}{极限存在的充要条件根据ns,}{}{的极限存在和nn7注：复数项级数的收敛问题可转化为实数项级数的收敛问题111),nnnnab分别收敛于a及b1()nnsaib112),nnnnab至少一个发散1nn发散11(1)2ninn例1级数是否收敛？例2级数是否收敛？21113nnin.211发散知原级数发散由nn.311发散知原级数发散由nn8推论2收敛级数的各项必是有界的.推论1收敛级数的通项必趋于零:lim0nn(事实上，取p=1,则必有|an+1|ε)．推论3若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原级数同为收敛或同为发散.定理4.2(Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给ε0,存在正整数N(ε),当nN且p为任何正整数时|n+1+n+2+…+n+p|ε重要结论:.0lim1发散级数nnnn9定理4.3复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数收敛.1||nn3.绝对收敛与条件收敛证由于,1221nnnnnba而,,2222nnnnnnbabbaa根据实数项级数的比较准则,知,11都收敛及nnnnba.11也都收敛及故nnnnba10定义4.2若级数收敛,则原级数称为绝对收敛;若级数发散，而级数收敛,原级数称为条件收敛.1||nn1nn:111nnnnnnab定理绝对收敛与绝对收敛1||nn1nnnkknkknkkknkknkknkkbabazba11122111||||||||||)||(||事实上，11定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.它收敛于.11,nnnn1121122111()(nnn(2)两个绝对收敛的复级数可按对角线法得到乘积级数例2级数是否绝对收敛？1(8)!nnin例1级数绝对收敛,且有0nn,1||时当.110nn解因为，!8|!)8(|nninn收敛，而级数1!8nnn故原级数绝对收敛。12定义1设复变函数项序列f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，…(*)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)为序列(*)的极限函数,记为:4.一致收敛的复函数项序列定义2对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε0,存在正整数N=N(ε),当nN时,对一切的z∈E均有|f(z)-fn(z)|ε,则称序列(*)在E上一致收敛于f(z)，记作:.)(lim)(zfzfnn))(()(nzfzfEn13定义4.3设复变函数项级数f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:1()()nnfzfz5.一致收敛的复函数项级数定义4.4对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε0,存在正整数N=N(ε),当nN时,对一切的z∈E均有|f(z)-sn(z)|ε,则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z)，记作:，其中1()()zDnnfzfz)()(1zfzsnkkn14定理4.5(柯西一致收敛准则)级数(4.2)在点集E上一致收敛于某函数的充要条件是:任给的ε0,存在正整数N=N(ε),使当nN时,对于一切z∈E,均有|fn+1(z)+…+fn+p(z)|ε(p=1,2,…).Weierstrass优级数准则:如果整数列Mn(n=1,2,…),使对一切z∈E,有|fn(z)|≤Mn(n=1,2,…),而且正项级数收敛,则复函数项级数在点集E上绝对收敛且一致收敛:这样的正项级数称为函数项级数的优级数.1nnM1()nnfz1nnM1)(nnzf15定理4.6设级数的各项在点集E上连续,并且一致收敛于f(z),则和函数也在E上连续.1)(nnzf1)()(nnzfzf定理4.7设级数的各项在曲线C上连续,并且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:1)(nnzf1)()(nCnCdzzfdzzf16定义4.5设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此级数在D内内闭一致收敛.定理4.8设级数(4.2)在圆K:|z-a|R内闭一致收敛的充要条件为:对于任意正数ρ,只要ρR,级数(4.2)在闭圆上一致收敛.:Kza17定理4.9设(1)fn(z)(n=1,2,…)在区域D内解析,级数则(1)f(z)在区域D内解析()()1(2)()()(,1,2,).ppnnfzfzzDp6.解析函数项级数或序列在区域D内内闭一致收敛于函数f(z),Ccnndzzf,2,1,0)(10)()(ncncdzzfdzzfDz0CDz0Dz0D证（1）设，若为Ｄ内包含z0的任一周线，则由柯西积分定理得由定理4.7得于是，由摩勒拉定理知，f(z)在内解析，即在解析。由于的任意性，故f(z)在区域内解析。)(zfn)}({zfn.,2,1),(lim)()()(pzfzfpnnp或18,)2(0KzDKUz内，对于也在的边界圆的某邻域设,)()()()(10110pnpnzzzfzzzf一致收敛于有由定理7.4,)()(21)()(2111010nKpnKpzzdzzfizzdzzfi.)()(1)()(npnpzfzf即19第二节幂级数1、幂级数的敛散性2、幂级数的收敛半径的求法3、幂级数的和函数的解析性4、例题5、小结201.幂级数的定义：20120()()()nnnczacczacza4.3形式的复函数项级数称为幂级数,其中c0,c1,c2,…,a都是复常数.20121.nnnczcczcz幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.一、幂级数的敛散性具有当a=0,则以上幂级数可以写成如下形式注1一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数。注2在一点解析的函数在此点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某点解析的充要条件是它在这点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。21定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:|z-a||z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.推论4.11若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.2.幂级数的敛散性讨论命题：对于幂级数,若实系数实幂级数nnnzz)(00nnnx0||的收敛半径为R,则有发散；时，级数当绝对收敛，时，级数则当若nnnnnnzzRzzzzRzzR)(||)(||,0)1(000000对收敛；在复平面上每一点处绝则级数若nnnzzR)(,)2(00外，每一点都发散。在复平面上除去则级数若000)(,0)3(zzzzRnnn22，使得幂级数在圆域圆周总存在一个对任意幂级数于是)0(||,)(,000RRzzzzCkkk外处处发散。内处处收敛，在此圆域Rzz||0称为收敛半径。称为幂级数的收敛圆圆域RRzz,||0。收敛，在收敛圆外发散幂级数在收敛圆内绝对敛，也可能发散。但在圆周上，则可能收23定理4.12如果幂级数(4.3)的系数cn合于1lim,('nnnclDAlembertc达朗贝尔）或lim,(-)nnnclCauchyHadamard柯西阿达玛或3.幂级数收敛半径的求法则幂级数的收敛半径为:0)(nnnazcR=1/l(l≠0,l≠+∞)0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4))Cauchy(||lim柯西lcnnn244、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算.,)(,,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzfRz),()()()(00nnnnnnzbzazgzf00110,)(nnnnnzbababaRz),min(21rrR252.幂级数的代换(复