2011高中数学精品复习课件：直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线过点（2,4）与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条B因为点(2,4)在曲线上，所以当直线与抛物线相切时只有一条，而当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条，故共有2条，故选B.易错点：直线与抛物线相交，交点的问题应注意到直线的斜率k不存在，以及直线平行抛物线对称轴时的两种情况.2.若双曲线的两条渐近线恰好是抛物线y=ax2+的两条切线，则a的值为（）A.B.C.D.易得双曲线的渐近线方程为y=±x，由对称性可知，直线y=x与曲线y=ax2+相切，联立两方程消去y得ax2-x+=0，由Δ=，得a=，故选B.22194xy13B34193513232313231344093a133.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A.（1,2）B.（1,2］C.D.（2,+∞）221124xyC33,33［］可得双曲线的渐近线方程为y=±x，过点F分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形可知，符合题意的直线斜率的取值范围为，故选C.易错点：直线与双曲线相交问题，应结合图形分析直线与渐近线平行、相切等极端位置.3333,33［］4.过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则△OPQ的面积是.3π422因为直线方程为x+y-1=0，即x=1-y.代入y2=4x，得：y2+4y-4=0，设P（x1,y1），Q（x2,y2），所以y1+y2=-4,y1·y2=-4，所以所以故填161642，21212124yyyyyy（）121·2OABSOFyy1=142=222，22.5.已知抛物线y2=2px（p0）的顶点为O焦点为F，点P为抛物线上一点，对于△POF的形状有下列说法：①可能为等腰三角形；②可能为等腰直角三角形；③可能为正三角形，其中正确的序号是.结合图形当时，，不等于，也不等于，又因为通径长（过焦点F与对称轴垂直的弦长）为2p，则②③均不可能发生.故填①.4px22yp4p34p①，1.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点（特殊情况除外），相切只有一个交点，相离无交点.判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y（或x）得变量x（或y）的方程：ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ＞0Δ=0Δ0.若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行.2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则弦长212122111.ABkxxyyk重点突破：直线与圆锥曲线的位置关系(Ⅰ)已知A(-3,4)，B(4,4)，若线段AB与椭圆没有公共点，求正数a的取值范围.(Ⅱ)若直线y=kx+1与双曲线3x2-4y2=12有两个不同的交点，求实数k的取值范围.例12222yxa(Ⅰ)利用图形进行分析，分两种情况解答，即线段AB在椭圆内和椭圆外.(Ⅱ)联立直线与双曲线方程消去y得到关于x的二次方程，在二次项系数不等于零的情况下利用Δ＞0求解.(Ⅰ)线段AB的方程为y=4(-3≤x≤4).①当线段AB在椭圆外时，a4，解得0a2②当线段AB在椭圆内时，根据椭圆的对称性可知，解得a2，综上知正数a的取值范围是0a2或a2.2；2222442a，626(Ⅱ)由y=kx+1与双曲线3x2-4y2=12联立消去y得(3-4k2)x2-8kx-16=0，由题意知3-4k2≠0，即k≠±，则Δ=64k2+64（3-4k2）0，得k21，即-1k1，综上所得3233331,,,1.2222k（）（）（）(Ⅰ)解答直线与椭圆的位置关系有两种，即判别式法与数形结合法.(Ⅱ)判断直线与双曲线的位置关系利用判别式法时，注意对二次项系数的讨论，二次项系数等于零实质是直线与渐近线平行的情况.当k=时，直线y=k(x+1)与抛物线y2=4x恰有一个公共点.由y=k(x+1)与y2=4x联立消去x，得ky2-4y+4k=0，当k=0时，直线与抛物线只有一个公共当k≠0时，Δ=16-16k2=0，解得k=±1.综上，k=-1,0,1.变式练习1-1，0，1点；重点突破：中点弦及弦长问题已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，点C在直线l：y=x+2上，且AB∥l.(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时，求线段AB的长及△ABC的面积；(Ⅱ)当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.例2(Ⅰ)求出直线AB的方程，与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系求出弦长AB，进而求出△ABC的面积；(Ⅱ)先设直线AB的方程，然后建立斜边长AC是某一变量的函数关系式，求出取得最值时，相应的变量，即可求得直线AB的方程.(Ⅰ)因为AB∥l，且AB边过点(0，0)，则AB所在直线的方程为y=x，设A，B两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，x2+3y2=4y=x所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h=，所以由，得x=±1，12222.ABxx21·2.2ABCSABh(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m，由x2+3y2=4y=x+m因为A，B在椭圆上，所以Δ=-设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，则所以，得4x2+6mx+3m2-4=0.12m2+640.y2)，2121233424mmxxxx，，21232622mABxx，又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离即所以=-(m+1)2+11，所以当m=-1时，AC边最长，(这时Δ=-12+640)，此时AB所在直线的方程为y=x-1.利用韦达定理、弦长公式可解答与弦中点有关的问题、弦长问题及弦所围成的三角形面积等高考常见热点问题.22mBC，2222210ACABBCmm已知抛物线y2=8x上一个定点M(x0,y0)(y00)，过点N(x0+4,0)与MN垂直的直线交抛物线于P，Q两点，若求△MPQ的面积.据题意得：=8x0所以x0=2，y0=4，所以M(2,4)，N(6,0)，所以变式练习242MN，20y2002(4)420MNxxy又因为y00，，40126MNk，因为MN⊥PQ,所以kPQ=1，则直线PQ方程为：y=x-6，y=x-6y2=8x所以又点M到直线PQ的距离为所以SΔMPQ=×16×4=64.联立，得：y2-8y-48=0，122111164192PQyyk162，222464211d，1222重点突破：最值与范围问题设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，顶点A(0,-1).(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(Ⅱ)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N，且若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.例32213xy12·PFPFAMAN？(Ⅰ)设点P(x,y)，利用函数的最值来求解.(Ⅱ)假设存在，设出直线方程，与椭圆联立，由转化为AP是线段MN的垂直平分线，利用根与系数的关系可判断.AMAN(Ⅰ)由题意知所以F1(-,0)，F2(,0)，设P(x,y)，则因为x∈［］，故当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-1；当x=±时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.3,1,2abc，22212·(2,)(2,)PFPFxyxyx222222121.33xyxx3,312·PFPF312·PFPF(Ⅱ)设存在满足条件的直线l，其方程为y=kx+b(k≠0)，y=kx+b则Δ=36k2b2-4(3k2+1)(3b2-3)=36k2-12b2+①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，得：由2213xy得：(3k2+1)x2+6bkx+3b2-3=0，120.1226.31bkxxk从而MN的中点P的坐标为因为所以AP是线段MN的垂直平分线，所以AP⊥MN，于是代入①并整理得：（3k2+1）（k2-1）0，所以-1k1，故满足条件的直线l存在，其斜率k的范围为-1k1且k≠0.223-,.3131bkbkk（）AMAN，22211131,3132031bkbkbkkk（）（），圆锥曲线中求最值与范围问题是高考中的常考问题，解决此类问题一般有两种思路：(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来求解；(2)构造关于所求值的不等式，通过求不等式来获得问题的解.注意在解决此类问题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.变式练习3已知点A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，F点是椭圆的右焦点，点P在椭圆上且位于x轴的上方，PA⊥PF.(Ⅰ)求点P的坐标.(Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.236x2120y(Ⅰ)由已知可得点A(-6,0),F(4，0),设点P(x,y)，y＞0，则=(x+6,y)，(x+6)(x-4)+y2=0，可得2x2+9x-18=0，解得x=,或x=-6，由于y0，只能x=,于是y=，所以点P的坐标是(,).AP=(x-4,y)，由已知可得：2213620xyFP323253232532(Ⅱ)易得直线AP的方程是x-y+6=0，设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是=|m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2，所以椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-由于-6≤x≤6，所以当x=时，d取得最小值.362m62m259x2491592x（），9215已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b(b0)与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B.(Ⅰ)设b=f(k)，求f(k)的表达式；(Ⅱ)若，求直线l的方程；(Ⅲ)若求三角形OAB面积的取值范围.例42212xy2·3OAOB23·34OAOBmm（），(Ⅰ)由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径可求得.(Ⅱ)联立直线与椭圆方程，由根与系数关系可求得.(Ⅲ)利用弦长公式及求最值的方法可得.(Ⅰ)因为y=kx+b(b＞0)与圆x2+y2=1相切，则即b2=k2+1(k≠0)，所以21,1bk21.bky=kx+b，消去y得：(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0,所以Δ=8k2＞0(因为k≠0)，设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以k2=1，k=±1，则b2=2，又b0，所以b=，所以直线l的方程为y=x+或y=-x+.(Ⅱ)由2212xy21212212·,213kOAOBxxyyk222(Ⅲ)由(Ⅱ)知：因为所以所以≤k2≤1，由弦长公式得：设O到直线AB的距离为d，则d=1，22121kmk，2334m，222133214kk，1222222121kABkk　，所以解得：本题考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与向量，不等式等知识的综合交汇，考查转化与化归思想.222121||1221kkSABk（），62.43S1.直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论.(1)若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据Δ来讨论；(2)若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点，需要注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行(或重合)与其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一