2012届高考数学(文)二轮复习课件：第2讲 函数、基本初等函数图象与性质

2012届高考数学（文）二轮复习课件：第2讲函数、基本初等函数的图象与性质主干知识整合第2讲│主干知识整合1．函数的概念及其表示(1)函数包含对应关系、定义域和值域三要素．(2)函数的表示法有图象法、列表法和解析式法．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．(2)奇偶性：偶函数图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．奇偶性是函数在定义域上的整体性质．第2讲│主干知识整合(3)周期性：对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期．周期性是函数在定义域上的整体性质．3．函数的图象(1)指数函数、对数函数、幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象可以使用描点法作出．(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．第2讲│主干知识整合4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质分0a1，a1两种情况，注意两种情况的公共性质．(2)对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质分0a1，a1两种情况，注意两种情况的公共性质，在对数计算中要特别注意对数恒等式和对数的换底公式．(3)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α0，α0两种情况，只需掌握α＝－1,1，12，2,3时幂函数的图象和性质即可．要点热点探究第2讲│要点热点探究►探究点一函数的性质的应用例1(1)[2011·安徽卷]设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.(2)已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m、n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是()A．m－n0B．m－n0C．m＋n0D．m＋n0第2讲│要点热点探究【分析】(1)先由条件求出f(－1)的函数值，再由奇函数性质求出f(1)；或先据奇函数性质求出x0的函数解析式f(x)，再求f(1)．(2)充分利用函数为减函数这一性质，不难得出结论．(1)－3(2)A【解析】(1)法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x0，则－x0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.第2讲│要点热点探究(2)因为f(x)是定义域为R的减函数，－f(－x)是单调递减函数，所以g(x)＝f(x)－f(－x)是减函数，因为f(m)－f(n)f(－m)－f(－n)，即f(m)－f(－m)f(n)－f(－n)，也就是g(m)g(n)，故而mn，选择A.【点评】函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性，以及函数图象的对称性，第(1)小题考查函数的奇偶性，另外奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，这是函数奇偶性的重要特征，第(2)小题考查了函数的单调性的定义，注意函数的单调性是相对于定义域而言的，有的时候单调性和奇偶性相结合，有些结论非常重要，比如：偶函数在对称区间上具备相反的单调性，奇函数在对称区间上具备相同的单调性．第2讲│要点热点探究函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝x＋1，则函数f(x)在(1,2)上的解析式为()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x－3C．f(x)＝1－xD．f(x)＝x＋1A【解析】∵x∈(0,1)时，f(x)＝x＋1，f(x)是以2为周期的偶函数，∴当x∈(1,2)时，(x－2)∈(－1,0)，(2－x)∈(0,1)，f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝2－x＋1＝3－x，选择A.第2讲│要点热点探究►探究点二函数图象的分析判断例2[2011·山东卷]函数y＝x2－2sinx的图象大致是()图2－1第2讲│要点热点探究C【解析】由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)为奇函数，所以排除A；又f′(x)＝12－2cosx，当x的取值从右侧趋向0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数，当x＝2π时，f′(2π)＝12－2cos2π＝－32＜0，所以x＝2π应在函数的递减区间上，所以选C.【点评】函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的特征作出判断，这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、使用函数性质分析问题解决问题的能力．利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点，看下面的变式．第2讲│要点热点探究已知f(x)＝－2x－1≤x≤0，x0x≤1，则下列函数的图象错误的是()图2－2第2讲│要点热点探究D【解析】先在坐标系内作出函数y＝f(x)的图象，然后将图象向右移一个单位得y＝f(x－1)的图象，即选项A；关于y轴对称即得y＝f(－x)的图象，即为选项B；将图象在x轴下方部分沿x轴对称即得y＝|f(x)|的图象，即为选项C；将函数图象在y轴右侧部分关于y轴对称即得y＝f(|x|)的图象，易知D选项不符合条件．第2讲│要点热点探究例3定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log21－x，x≤0，fx－1－fx－2，x0，则f(2016)的值为()A．－1B．0C．1D．2【分析】充分利用分段函数的特征与函数周期性，再利用对数的运算性质不难得出结论．►探究点三基本初等函数的性质及应用第2讲│要点热点探究B【解析】依题意，当x6时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)＝f(x－2)－f(x－3)－f(x－2)＝－f(x－3)＝－f(x－4)＋f(x－5)＝－f(x－5)＋f(x－6)＋f(x－5)＝f(x－6)，所以x0时，f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2016)＝f(0)＝log21＝0.【点评】本题考查分段函数和函数的周期性的应用，另外就是要在解对数方程或者不等式时一定要注意其真数大于零的隐含条件．高考对指数函数、对数函数和幂函数的性质的考查主要是应用，应用这些函数的性质分析函数图象、解不等式、比较数值的大小等，看下面的变式．第2讲│要点热点探究若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝12lnx，c＝elnx，则()A．cbaB．bacC．abcD．bcaD【解析】c＝elnx＝x∈(e－1,1)，b＝12lnx∈(1,2)，a＝lnx∈(－1,0)，所以bca.第2讲│要点热点探究所谓抽象函数问题就是不给出函数的解析式，只给出函数满足的一些条件的函数问题．这类问题主要题型是推断函数的其他性质、研究特殊的函数值、解由抽象函数给出的不等式等．抽象函数问题的难点就是没有给出函数的解析式，需要我们根据函数满足的一些已知条件推断函数的性质，然后根据函数的性质解决问题，可以说推断函数性质是我们解决抽象函数问题的一个基本思想．如果是选择题或者填空题，可以找到满足已知条件的函数原型，通过具体函数解决一般性问题．►创新链接3抽象函数解题思路第2讲│要点热点探究例4定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，ts的取值范围是()A.－14，1B.－14，1C.－12，1D.－12，1【分析】借助函数的对称性和函数图象的变换，知道函数f(x)的图象关于原点对称，故而解释函数为奇函数，根据奇函数的特征得到s，t间的不等关系，借助不等式的性质得出最终结论．第2讲│要点热点探究【解析】C由f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称知f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，故f(x)为单调递减的奇函数，所以f(s2－2s)≤f(t2－2t)，从而t2－2t≤s2－2s，化简得(t－s)(t＋s－2)≤0.又1≤s≤4，故2－s≤t≤s，从而2s－1≤ts≤1，等号可以取到，而2s－1∈－12，1，故ts∈－12，1.【点评】这类抽象函数试题，充分结合函数的对称性、奇偶性和单调性来解释特征量之间的关系，对于抽象函数本身来说，没有解析式，从考试角度理解，重于对函数性质的应用．第2讲│要点热点探究定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bcaD．cbaD【解析】依题意，由f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，得f(x)＝f(x＋2)，因此f(x)为周期函数，周期为2.又f(x)是偶函数，且在[－1,0]上单调递增，所以f(x)是[0,1]上单调递减，f(2)＝f(0)，f(3)＝f(1)，f(2)＝f(2－2)，02－21，所以f(1)f(2－2)f(0)，即f(3)f(2)f(2)，选择D.第2讲│规律技巧提炼1．要善于根据已知函数满足的关系推证函数的周期性，如①已知函数f(x)满足对任意x有f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则可得f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，即可推知2a是这个函数的一个周期；②已知函数f(x)满足对任意x都有f(x＋a)＝1fx，f(x＋a)＝－1fx(a≠0)，同样可推知2a为其周期；③已知函数f(x)满足对任意x都有f(x＋a)＝1＋fx1－fx(a≠0，f(x)≠1)，则采用f(x＋2a)，f(x＋4a)进行推理可得其一个周期是4a.要理解和掌握这种逐步递推得到函数的周期性的方法．规律技巧提炼第2讲│规律技巧提炼2．如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则这个函数图象本身是一个轴对称图形，关于直线x＝a＋b2对称，反之亦然；如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝－f(b－x)，则这个函数图象本身是一个中心对称图形，对称中心是a＋b2，0，反之亦然．注意这个结论中b＝a的情况．3．当偶函数f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称时，根据函数图象的对称性可得函数解析式满足f(a＋x)＝f(a－x)，进而f(2a＋x)＝f(－x)＝f(x)，这样就得到函数y＝f(x)的一个周期是2a；当奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)对称时，可得f(a＋x)＝－f(a－x)，以x＋a代x得，f(2a＋x)＝－f(－x)＝f(x)，也推出2a是函数f(x)的一个周期．这个结论不用记忆，只要知道解决问题的基本思路，类似的问题都可以加以解决．第2讲│教师备用例题教师备用例题备选理由：例1考查函数图象和分段函数的特征，去掉绝对值符号得到函数图象的特征，属于典型的数形结合法的题目；例2属于典型的概念创新型题，定义了(f∘g)(x)＝f(g(x))；(f·g)(x)＝f(x)g(x)，解决问题的关键是紧扣问题情境．第2讲│教师备用例题例1函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是()【解析】D取特殊值x＝12，可得y＝2－1－12＝32，排除A，B.取x＝2，可得y＝2－(2－1)＝1，排除C.故选D.第2讲│教师备用例题例2设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f∘g)(x)和(f·g)(x)：对任意x∈R，(f∘g)(x)＝f(g(x))；(f·g)(x)＝f(x)g(x)．则下列等式恒成立的是()A．((f∘g)·h)(x)＝((f·h)∘(g·h))(x)B．((f·g)∘h)(x)＝((