2012届高考数学(理科)二轮复习专题课件 三角恒等变换与三角函数(人教A版)

第5讲三角恒等变换与三角函数第5讲三角恒等变换与三角函数主干知识整合第5讲│主干知识整合1．y＝Asin(ωx＋φ)(A0)的图象特点：①在对称轴处取得最大值或最小值；②对称中心就是函数图象与x轴的交点；③两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期，相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期．2．三角函数的恒等变换：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等．二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据，注意其变形：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.要点热点探究第5讲│要点热点探究►探究点一简单的三角恒等变换例1(1)[2011·浙江卷]若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝()A.33B．－33C.539D．－69(2)已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．第5讲│要点热点探究(1)C(2)－142【解析】(1)∵cosπ4＋α＝13，0απ2，∴sinπ4＋α＝233.又∵cosπ4－β2＝33，－π2β0，∴sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.第5讲│要点热点探究(2)cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝cosα＋sinαcosα－sinα22sinα－cosα＝－2(cosα＋sinα)，∵sinα＝12＋cosα，∴cosα－sinα＝－12，两边平方得1－2sinαcosα＝14，所以2sinαcosα＝34.∵α∈0，π2，∴cosα＋sinα＝cosα＋sinα2＝1＋34＝72，∴cos2αsinα－π4＝－142.第5讲│要点热点探究【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把π2＋2α变换成2π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．第5讲│要点热点探究(1)已知cos2α2sinα＋π4＝52，则tanα＋1tanα的值为()A．－8B．8C．－18D.18(2)已知实数a，b均不为零，asin2＋bcos2acos2－bsin2＝tanβ，且β－2＝π6，则ba＝()A.3B.33C．－3D．－33第5讲│要点热点探究(1)A(2)B【解析】(1)cos2α2sinα＋π4＝52，即cosα－sinα＝52，即sinαcosα＝－18，所以tanα＋1tanα＝1sinαcosα＝－8.(2)由题意知，tanβ＝tan2＋π6＝tan2＋331－33tan2＝asin2＋bcos2acos2－bsin2＝atan2＋ba－btan2，化简得33a－b(tan22＋1)＝0，所以33a＝b，故ba＝33.第5讲│要点热点探究►探究点二三角函数的图象例2(1)[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图5－1，则fπ24＝________.图5－1(2)要得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝12sin2x＋32cos2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π2个单位C．向右平移π3个单位D．向左平移π4个单位第5讲│要点热点探究【分析】(1)根据正切函数的周期性和已知函数图象上的特殊点的坐标，求出函数的解析式；(2)化函数y＝12sin2x＋32cos2x为余弦型函数，再根据两个函数解析式之间的差异确定变换的方法．(1)3(2)D【解析】(1)由图象知πω＝2×3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝Atan2x＋π4.又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan2x＋π4.所以fπ24＝tan2×π24＋π4＝3.(2)y＝12sin2x＋32cos2x＝cos2x－π6，故只要把这个函数的x换为x＋π4即可，即把这个函数的图象向左平移π4个单位长度即得函数y＝cos2x＋π3的图象．第5讲│要点热点探究【点评】(1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是π|ω|，注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数；(2)在进行三角函数的图象变换时，要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数，再根据两个函数解析式的差别确定变换方法．第5讲│要点热点探究(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图5－2所示，则f(0)的值是________．图5－2(2)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移π3个单位；④图象向左平移π3个单位；⑤图象向右平移2π3个单位；⑥图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换到函数y＝sinx2＋π3的图象，那么这两种变换的序号依次是．．．________(填上一种你认为正确的答案即可)．第5讲│要点热点探究(1)62(2)④②或②⑥(填出其中一种即可)【解析】(1)由图象可得A＝2，周期为4×7π12－π3＝π，所以ω＝2，将7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2kπ＋32π，即φ＝2kπ＋π3，所以f(0)＝2sinφ＝2sinπ3＝62.(2)y＝sinx――→④y＝sinx＋π3――→②y＝sinx2＋π3，或y＝sinx――→②y＝sin12x――→⑥y＝sin12x＋2π3＝sinx2＋π3.第5讲│要点热点探究►探究点三三角函数的性质例3[2011·安徽卷]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)第5讲│要点热点探究C【解析】对x∈R时，f(x)≤fπ6恒成立，所以fπ6＝sinπ3＋φ＝±1，可得φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6，k∈Z.因为fπ2＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ0.所以φ＝2kπ－5π6，所以f(x)＝sin2x－5π6.由－π2＋2kπ≤2x－5π6≤π2＋2kπ，得函数f(x)的单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)，答案为C.第5讲│要点热点探究例4设函数f(x)＝sinωx＋sinωx－π2，x∈R.(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x的集合；(2)若x＝π8是f(x)的一个零点，且0ω10，求ω的值和f(x)的最小正周期．【解答】(1)f(x)＝sinωx＋sinωx－π2＝sinωx－cosωx，当ω＝12时，f(x)＝sinx2－cosx2＝2sinx2－π4.而－1≤sinx2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x2－π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝3π2＋4kπ，k∈Z，相应的x的集合为xx＝3π2＋4kπ，k∈Z.第5讲│要点热点探究(2)方法1：因为f(x)＝2sinωx－π4，所以，x＝π8是f(x)的一个零点⇔fπ8＝sinωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝kπ，k∈Z，整理，得ω＝8k＋2.又0ω10，所以08k＋210，－14k1，而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，f(x)＝2sin2x－π4，f(x)的最小正周期为π.方法2：x＝π8是f(x)的一个零点⇔fπ8＝sinωπ8－cosωπ8＝0，即tanωπ8＝1.所以ωπ8＝kπ＋π4，k∈Z，整理，得ω＝8k＋2.又0ω10，所以08k＋210，解得－14k1.而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，f(x)＝2sin2x－π4，f(x)的最小正周期为π.第5讲│要点热点探究已知函数f(x)＝cos2ωx－π6(ω0)的最小正周期为2π.(1)求ω的值；(2)若函数f(x)与g(x)＝asinx＋cosx有相同的对称轴，求g(x)的零点的集合．【解答】f(x)＝cos2ωx－π6＝1＋cos2ωx－π32＝12＋12cos2ωx－π3.(1)由最小正周期为2π，所以2π2ω＝2π⇒ω＝12.第5讲│要点热点探究(2)由f(x)＝12＋12cosx－π3，令x－π3＝kπ，k∈Z，则f(x)的对称轴方程为x＝kπ＋π3(k∈Z)．令k＝0，x＝π3为g(x)的一条对称轴，由对称性可知g2π3＝g(0)，即asin2π3＋cos2π3＝asin0＋cos0，解之得a＝3.当a＝3时，g(x)＝2sinx＋π6符合题意，令g(x)＝2sinx＋π6＝0⇒x＋π6＝kπ(k∈Z)，所以g(x)的零点的集合为xx＝kπ－π6，k∈Z.规律技巧提炼第5讲│规律技巧提炼1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin2x＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y＝sin2x＋π12＋π4＝sin2x＋5π12的图象．3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化