2012届高考数学(理科)二轮复习专题课件 分类与整合思想和化归与转化思想(人教A版)

第23讲分类与整合思想和化归与转化思想第23讲分类与整合思想和化归与转化思想主干知识整合第23讲│主干知识整合1．分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．第23讲│主干知识整合2．化归与转化思想在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想．要点热点探究第23讲│要点热点探究►探究点一分类与整合思想例1已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|＋|x－2|.(1)写出函数的单调区间；(2)设g(x)＝－x2＋bx，若对任意的x1，x2∈[－1,4]，f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数b的取值范围．【分析】(1)根据绝对值的概念，通过把实数集分割为四个子集，在各个子集上，函数解析式就可以去掉绝对值符号，转化为一般的一次函数，通过研究各个段上的函数单调性，把其整合为整个函数的单调性；(2)问题等价于在区间[－1,4]上，函数f(x)的最小值大于或者等于函数g(x)的最大值，根据函数g(x)的对称轴和单调性分类求解g(x)的最大值，通过最值的不等式，得出各个情况的结果，最后整合为一个整体结论．第23讲│要点热点探究【解答】(1)函数f(x)＝－3x＋3，x≤0，－x＋3，0x≤1，x＋1，1x≤2，3x－3，x2.由于这个函数的图象是连续不断的，在(－∞，0]和(0,1]上，函数是单调递减的，在(1,2]，(2，＋∞)上，函数是单调递增的，在x＝1处图象连续．所以函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)．(2)由(1)知，函数f(x)在区间[－1,4]上的x＝1处取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝2.当b2≤－1，即b≤－2时，函数g(x)在[－1,4]上单调递减，其最大值为g(－1)＝－1－b.由2≥－1－b得b≥－3.故此时－3≤b≤－2；当－1b24，即－2b8时，函数g(x)在x＝b2处取得最大值，其最大值为gb2＝b24.由2≥b24得－22≤b≤22.故此时－2b≤22；当b2≥4，即b≥8时，函数g(x)在[－1,4]上单调递增，其最大值为g(4)＝－16＋4b.由2≥－16＋4b，得b≤92.故此时b无解．综上所述，b的取值范围是[－3,22]．第23讲│要点热点探究例2已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax(0a1)，讨论函数f(x)的单调性．【解答】f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．由f′(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝1a－1.(1)若0a12，则x2x1.当0x1或者x1a－1时，f′(x)0；当1x1a－1时，f′(x)0.故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，1a－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1.【分析】求出导数后，讨论函数f(x)的导数的符号即可．第23讲│要点热点探究(2)若a＝12时，x1＝x2，此时f′(x)≤0恒成立，且仅在x＝12处等于零，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)若12a1，则0x2x1.当0x1a－1或者x1时，f′(x)0；当1a－1x1时，f′(x)0.故此时函数f(x)的单调递减区间是0，1a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是1a－1，1.综上所述：当0a12时，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，1a－1，＋∞，单调递增区间是1，1a－1；当a＝12时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当12a1，函数f(x)的单调递减区间是0，1a－1，(1，＋∞)，单调递增区间是1a－1，1.第23讲│要点热点探究►探究点二化归与转化思想例3(1)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．(2)若抛物线y＝x2＋4ax＋3－4a，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，则实数a的取值范围是________．【分析】(1)很显然，函数g(x)是二次函数，二次函数在一个开区间上存在零点，情况是很复杂的，但这个二次函数可以把参数分离出来，这样就把问题转化为求一个具体的函数的值域；(2)至少有一条与x轴相交情况，包括七种情况，直接求解比较困难，从其反面考虑．第23讲│要点热点探究(1)－43，7(2)－∞，－32∪[－1，＋∞)【解析】(1)g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a，g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，等价于a的取值范围是函数y＝3x2＋4x在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是－43，7.故所求的a的取值范围是－43，7.(2)由Δ1＝4a2－43－4a0，Δ2＝a－12－4a20，Δ3＝2a2＋8a0，解得－32a－1，再求它的补集，则a的取值范围是：a≤－32或a≥－1.第23讲│要点热点探究例4(1)若cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin(α－2π)sin(α－π)－sin5π2＋αsin3π2－α＝________.(2)函数f(x)＝sinx＋cosx＋sin2x的最小值是________．【分析】(1)化简已知和求解目标，然后采取适当的方法；(2)把sinx＋cosx看做一个整体，用这个整体表示已知函数．(1)－35(2)－54【解析】(1)已知条件即sinα＝2cosα，求解目标即cos2α－sin2α.已知条件转化为tanα＝2，求解目标转化为cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α，把已知代入得求解结果是－35.(2)令t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋sin2x，且t∈－2，2.此时函数化为y＝t＋t2－1＝t＋122－54，故所求函数的最小值为－54.第23讲│要点热点探究►创新链接11活用数学思想方法解题数学思想方法在解题中具有指导作用，灵活使用数学思想对优化解题过程、得出正确答案具有重要意义．在数学思想方法中，函数与方程是相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转化，如解方程f(x)＝0就是求函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标；方程f(x)＝g(x)的解就是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标．函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征，运用函数思想解题，重在对问题中的变量的动态研究，从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路；而方程思想则是动中求静，研究运动中的等量关系．函数思想与方程思想常常是相辅相成的，函数的研究离不开方程，方程的研究也要借助函数，以寻找解决问题的思路．第23讲│要点热点探究例5设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，函数f(x)＝0只有一个实数根？【分析】(1)按照导数研究函数性质的方法，根据导数等于零的点及其导数在这个点附近的符号变化进行判断求解；(2)方程f(x)＝0只有一个实数根等价于函数y＝f(x)的图象与x轴只有一个公共点，根据三次函数存在两个极值点、三次函数图象的变化趋势，只要函数的极大值小于零，或者极小值大于零即可．第23讲│要点热点探究【解答】(1)f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x1＝－13，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x－∞，－13－13－13，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴f(x)的极大值是f－13＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)根据三次函数的特征，当x足够大时，一定有f(x)0，当x足够小时一定有f(x)0，结合函数的单调性和极值，函数y＝f(x)与x轴只有一个公共点的充要条件是极大值小于零或极小值大于零，即527＋a0或a－10，即a－527或者a1.所以当a∈－∞，－527∪(1，＋∞)时，函数y＝f(x)的图象与x轴仅有一个交点．第23讲│要点热点探究【点评】本题第一问是研究函数性质，但必须通过解导数等于零的方程，根据方程的根确定函数的极值点，研究函数要考解方程；第二问是研究方程的根，要借助于函数的性质，对方程根的情况作出判断，方程的研究要借助函数．本题表明函数与方程是相辅相成的．第7讲│要点热点探究设x，y满足约束条件x≥0，y≥x，4x＋3y≤12，则x＋2y＋3x＋1的取值范围是()A．[1,5]B．[2,6]C．[3,10]D．[3,11]D【解析】目标的几何意义不明显，可以变换为1＋2·y＋1x＋1，其中y＋1x＋1的几何意义是明确的，即区域内的点与点(－1，－1)连线的斜率．变换求解目标为1＋2·y＋1x＋1，令z＝y＋1x＋1，其几何意义是区域x≥0，y≥x，4x＋3y≤12内的点到点M(－1，－1)连线的斜率．如图，显然z的值满足kMA≤z≤kMB，kMA＝1，kMB＝5，故1≤z≤5，所以3≤x＋2y＋3x＋1≤11.第23讲│要点热点探究n∈N，n1.求证：1＋131＋15…1＋12n－12n＋12.第23讲│要点热点探究【解答】证明：问题等价于证明1＋131＋15…1＋12n－12n＋112，构造函数f(n)＝1＋131＋15…1＋12n－12n＋1，通过函数的单调性解决问题．设f(n)＝1＋131＋15…1＋12n－12n＋1(n≥2)，则fn＋1fn＝1＋131＋15…1＋12n＋12n＋1＋1×2n＋11＋131＋15…1＋12n－1＝2n＋14n＋12－12n＋14n＋12＝1，即f(n＋1)f(n)，即函数f(n)单调递增，所以f(n)f(2)．f(2)＝435＝16451664＝12，故f(n)12，所以1＋131＋15……1＋12n－12n＋12.规律技巧提炼第23讲│规律技巧提炼1．分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念、直线的斜率的概念等，如果试题中涉及这些概念，就要进行分类讨论；(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，不同的情况公式的形式，如数列的通项与前n项和的关系，等比数列的求和公式等，试题中涉及这些时，就需要分类讨论；第23讲│规律技巧提炼(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分为几个部分进行分类解决；(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算