1999考研数三真题及解析

11999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)(1)设()fx有一个原函数sinxx，则2()xfxdx(2)1112nnn(3)设101020101A，而2n为整数，则12nnAA(4)在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)Na.若以nX表示n次称量结果的算术平均值，则为使0.10.95nPXa，n的最小值应不小于自然数(5)设随机变量,1,2,,;2ijXijnn独立同分布，2ijEX，则行列式111212122212nnnnnnXXXXXXYXXX的数学期望EY二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设()fx是连续函数，()Fx是()fx的原函数，则()(A)当()fx是奇函数时，()Fx必是偶函数。(B)当()fx是偶函数时，()Fx必是奇函数。(C)当()fx是周期函数时，()Fx必是周期函数。(D)当()fx是单调增函数时，()Fx必是单调增函数。(2)设(,)fxy连续，且(,)(,)Dfxyxyfuvdudv，其中D是由20,,1yyxx所围成的区域，则(,)fxy等于()(A)xy(B)2xy(C)18xy(D)1xy2(3)设向量可由向量组12,,,m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)121,,,m线性表示，记向量组(Ⅱ)121,,,m，则()(A)m不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。(B)m不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。(C)m可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示。(D)m可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。(4)设,AB为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()(A).EAEB(B)A与B有相同的特征值和特征向量.(C)A与B都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数t，tEA与tEB相似.(5)设随机变量101(1,2)111424iXi，且满足1201PXX，则12PXX等于()(A)0.(B)14.(C)12.(D)1.三、(本题满分6分)曲线1yx的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线2,0,2xyy以及曲线22xyy所围成的平面区域。五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，1x和2x分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为122Qxx，其中,为正常数，且1.假设两种要素的价格分别为1p和2p，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？六、(本题满分6分)设有微分方程2yyx，其中32,10,1xxx试求:在,内的连续函数yyx，使之在,1和1,内都满足所给方程，且满足条件00y.七、(本题满分6分)设函数fx连续，且2012arctan2xtfxtdtx.已知11f，求21fxdx的值.八、(本题满分7分)设函数fx在区间0,1上连续，在0,1内可导，且1010,12fff.试证：(1)存在1,12，使f；(2)对任意实数，必存在0,，使得1ff.九、(本题满分9分)设矩阵15310acAbca，且1A.又设A的伴随矩阵*A有特征值0，属于0的特征向量为1,1,1T，求,,abc及0的值.十、(本题满分7分)设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵.已知矩阵TBEAA，试证：当0时，矩阵B为正定矩阵.十一、(本题满分9分)假设二维随机变量,XY在矩形,02,01Gxyxy上服从均匀分布.记0,1,XYUXY，0,21,2XYVXY(1)求U和V的联合分布；(2)求U和V的相关系数r.十二、(本题满分7分)设129,,,XXX是来自正态总体X的简单随机样本，112616YXXX，278913YXXX，9222712iiSXY，122YYZS，证明统计量Z服从自由度为2的t分布.41999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】41【详解】由题设可知2sincossin()()xxxxfxxx.由分部积分法，得2222()()()()xfxdxxdfxxfxfxdx22cossinsin22411xxxxxx(2)【答案】4【详解】考虑幂级数11nnnx，由1lim1nnn可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)，则1(1,1)2x.记11()nnSxnx，两边从0到x积分，得11000111()(),(1,1)1xxxnnnnnnxSxdxnxdxnxdxxxx所以21()(),(1,1)1(1)xSxxxx所以121111()()4122(1)2nnSn(3)【答案】O【详解】101020101A，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有210110120210102002004020202101101202101AA故有1222(2)nnnAAAAAO5或由22AA，式子左右两端同右乘2nA，得2222nnAAAA，即12nnAA，得12nnAAO或由22AA，式子左右两端同右乘A，得2322(2)22(2)2AAAAAAAA，式子左右两端再同乘A，得342323(2)2222AAAAAAAA，…，依次类推，得1212,2,nnnnAAAA所以11211222222nnnnnnAAAAAAO(4)【答案】16【概念和性质】(1)独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布；(2)期望的性质：()EaXbYaEXbEY，Ecc(其中,,abc为常数)；(3)方差的性质:2()()DcXcDX；若XY和独立，则()DXYDXDY(4)正态分布标准化：若2~(,)ZNu，则~(0,1)ZuN【详解】由题知：212,,(,0.2)nXXXNa，11nniiXXn，且12,,nXXX相互独立，故211~(,)nniiXXNn，其中nEX，2nDX所以1111nnniiiinaEXEXEXannn2222221111110.20.2nnnniiiiiinDXDXDXDXnnnnn所以2110.2~(,)nniiXXNann，标准化得~(0,1)0.2/nXaUNn则只需将0.10.95nPXa中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：0.10.950.9520.2/0.2/nXanPPUnn因~(0,1)0.2/nXaUNn，查标准正态分布表知1.960.95PU6所以1.962n，解得15.3664n.因n为整数，所以n最小为16.(5)【答案】0EY【概念和性质】(1)EXYEXEY；(2)若X和Y独立，则有EXYEXEY【详解】由行列式的定义知，行列式是由2n个元素ijX的乘积组成的!n项和式，每一项都是n个元素的乘积1212njjnjXXX，这n个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部!n项中每项都带有正号或负号.由于随机变量,1,2,,;2ijXijnn独立，所以有12121212()nnjjnjjjnjEXXXEXEXEX所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和.即有111212122212nnnnnnEXEXEXEXEXEXEYEXEXEX而,1,2,,;2ijXijnn同分布，且2ijEX所以1112121222122222220222nnnnnnEXEXEXEXEXEXEYEXEXEX(行列式的性质：若行列式两行(列)成比例，则行列式为0).二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()fx的原函数()Fx可以表示为0()(),xFxftdtC于是00()()().utxxFxftdtCfuduC当()fx为奇函数时，()()fufu，从而有00()()()()xxFxfuduCftdtCFx即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.7(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()fxx是偶函数，但其原函数31()13Fxx不是奇函数，可排除(B)；2()cosfxx是周期函数，但其原函数11()sin224Fxxx不是周期函数，可排除(C)；()fxx在区间(,)内是单调增函数，但其原函数21()2Fxx在区间(,)内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C)【详解】因为(,)Dfuvdudv为一确定的数，不妨设(,)Dfuvdudva，则(,)fxyxya，所以2100(,)()()xDDafxydxdyxyadxdydxxyady51201()2123xaaxdx，解之得18a，所以1(,)8fxyxy，故应选(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：可由向量组12,,,m线性表示，即存在常数12,,,mkkk使得1122mmkkk(*)不能由121,,,m线性表出，从而知0mk（若0mk，则112211mmkkk，这和不能由121,,,m线性表出矛盾.）(*)可变为112211mmmmkkkk，上式两端同除mk1122111()mmmmkkkkm能由(II)线性表示，排除(A)(D).m不能由121,,,m线性表示，若能，即存在常数121,,,m使得8112211mmm，代入(*)得1122112211()mmmkkk111222111()()()mmmmmmkkkkkk这和不能由121,,,m线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).方法2：若取12310010,1,0,10011，则123，即可由123,,线性表出.假设存在常数12,kk，满足1122kk因为1212(,)2(,,)3rr，即方程组1122kk的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存在常数12,k