傅里叶级数

15-1-1第十五章傅里叶级数目的与要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数.掌握以l2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数．了解收敛定理的证明．重点与难点：本章重点是三角级数和傅里叶级数的概念及将函数展开成傅里叶级数；难点则是收敛定理的证明.第一节傅里叶级数本章将讨论在数学与工程技术中都有着广泛应用的一类函数项级数，即由三角函数列所产生的三角级数.一三角级数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数15-1-2)sin(xAy来描写.由)sin(xAy所表达的周期运动也称为简谐振动，其中A为振幅，为初相角，为角频率,于是简谐振动y的周期是2T.较为复杂的周期运动,则常是几个简谐振动)sin(kkkxkAy,nk,,2,1的叠加nkkknkkxkAyy11)sin(.由于简谐振动ky的周期为kT2T,nk,,2,1,所以函数nkkknkkxkAyy11)sin(的周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数10)sin(nnnxnAA.15-1-3若级数10)sin(nnnxnAA收敛,则它所描述的是更为一般的周期现象.对于级数10)sin(nnnxnAA,我们只要讨论1(如果1,可用x代换x)的情形.由于nxnxnxnnnsincoscossin)sin(所以1010sincoscossin)sin(nnnnnnnnnxAnxAAnxAA记200aA,nnnaAsin,nnnbAcos,,,2,1n则级数10sincoscossinnnnnnnxAnxAA可写成10sincos2nnnnxbnxaa它是由1,xcos,xsin,x2cos,x2sin,sin,cos,nxnx所产生的一般形式的三角级数.15-1-41三角级数的一般形式级数10sincos2nnnnxbnxaa称为三角级数其中0a,na,nb(,2,1n)都是常数.容易验证,若三角级数10sincos2nnnnxbnxaa收敛,则它的和一定是一个以2为周期的函数.关于三角级数10sincos2nnnnxbnxaa的收敛性有如下定理：定理1若级数102nnnbaa收敛,则三角级数10sincos2nnnnxbnxaa在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2三角函数系我们称1,xcos,xsin,x2cos,x2sin,sin,cos,nxnx为三角函数列(也称为三角函数系).3三角函数系的特性15-1-5三角函数系1,xcos,xsin,x2cos,x2sin,sin,cos,nxnx中所有函数具有共同的周期2.在三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间],[上的积分等于零即0cosnxdx,2,1n,0sinnxdx,2,1n,0cossinnxdxkx,2,1,nk,0sinsinnxdxkxnknk,,2,1,,0coscosnxdxkxnknk,,2,1,.而三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间],[上的积分不等于零即212dxnxdx2cos,2,1n,nxdx2sin,2,1n.通常把两个函数与在],[ba上可积,且0)()(badxxx的函数与称为在],[ba上是正交的.由此,15-1-6我们说三角函数系在],[上具有正交性,或者说三角函数系是正交函数系.二以2为周期的函数的傅里叶级数应用三角函数系的正交性,我们讨论三角级数的和函数)(xf与级数的系数0a,na,nb之间的关系.定理2若在整个数轴上10sincos2)(nnnnxbnxaaxf且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式：nxdxxfancos)(1,2,1,0nnxdxxfbnsin)(1,2,1n一般地说,若)(xf是以2为周期且在],[上可积的函数,则可按公式nxdxxfancos)(1,2,1,0nnxdxxfbnsin)(1,2,1n计算出na和nb,它们称为函数)(xf(关于三角函数系)的傅里叶系数,以函数)(xf的傅里叶系数为系数的三角级数称为函数)(xf(关于三角函数系)的傅里15-1-7叶级数,记作)(xf～10sincos2nnnnxbnxaa.这里记号“～”表示上式右端是左边函数的傅里叶级数.由定理2知道：若10sincos2)(nnnnxbnxaaxf的右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数)(xf,则此三角级数就是)(xf的傅里叶级数,即此时)(xf～10sincos2nnnnxbnxaa中的记号“～”可换为“”.然而,若从以2为周期且在],[上可积的函数)(xf出发,按公式nxdxxfancos)(1,2,1,0nnxdxxfbnsin)(1,2,1n求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数)(xf～10sincos2nnnnxbnxaa,这时还需要讨论此级数是否收敛.如果收敛,是否收敛于)(xf本身.这就是下一段所要叙述的内容.三收敛定理15-1-81按段光滑函数定义若)(xf的导函数)(xf在区间],[ba上连续,则称函数)(xf在区间],[ba上光滑.若函数)(xf在区间],[ba上至多有有限个第一类间断点,且)(xf仅在区间],[ba上有限个点处不连续且为第一类间断点,则称)(xf是区间],[ba上的按段光滑函数.2按段光滑函数的性质设函数)(xf在区间],[ba上按段光滑,则(1))(xf在区间],[ba上可积；(2)对x],[ba,)0(xf都存在,且有)0()0()(lim0xftxftxft,)0()0()(lim0xftxftxft.(3)在补充定义)(xf在区间],[ba上那些至多有限个不存在点上的值后(仍记为)(xf),)(xf在区间],[ba上可积.3收敛定理定理3设函数)(xf是以2为周期的周期函数,且在区间],[上按段15-1-9光滑,则在x],[,)(xf的傅里叶级数10sincos2nnnnxbnxaa收敛于)(xf在点x的左、右极限的算术平均值,即2)0()0(xfxf10sincos2nnnnxbnxaa,其中na和nb为函数)(xf的傅里叶系数.(证明放到以后进行)推论若)(xf是以2为周期的连续函数,且在],[上按段光滑,则)(xf的傅里叶级数在),(上收敛于)(xf.注1根据收敛定理的假设,)(xf是以2为周期的函数,所以系数公式nxdxxfancos)(1,2,1,0nnxdxxfbnsin)(1,2,1n中的积分区间],[可以改为长度为2的任何区间.而不影响na和nb的值,如2cos)(1ccnnxdxxfa,2,1,0n2sin)(1ccnnxdxxfb,2,1n15-1-10注2在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,常只给出函数)(xf在],((或),[)上的解析表达式,但我们应理解为它是定义在整个数轴上以2为周期的周期函数,即在],(以外的部分按函数在],(上的对应关系作周期延拓.如)(xf为在],(上的解析表达式,那么周期延拓后的函数为,2,1],)12(,)12((),2(],(),()(ˆkkkxkxfxxfxf因此我们说函数)(xf的傅里叶级数就是指函数)(ˆxf的傅里叶级数.例1设)(xf是以2为周期的函数，其在],(上可表示为0,00,)(xxxxf求)(xf的傅里叶展开式.例2把函数)(xf展开成傅里叶级数2,,00,)(22xxxxxxf作业P701，2，3，4，5，6，7，8.15-1-11第二节以l2为周期的函数的展开式一以l2为周期的函数的傅里叶级数设函数)(xf以l2为周期的周期函数,并在区间],[ll上可积.作变量代换tlx,则函数tlftF)(以2为周期的周期函数.由于tlx是线性函数,所以)(tF在区间],[上也可积.函数)(tF的傅里叶系数为ntdttFancos)(1,2,1,0nntdttFbnsin)(1,2,1n)(tF～10sincos2nnnntbntaa15-1-12还原为自变量x,注意到)()(xftlftF,lxt,就有)()(tFxf～10sincos2nnnlxnblxnaa其中llndxlxnxflntdttFacos)(1cos)(1,2,1,0nllndxlxnxflntdttFbsin)(1sin)(1,2,1n.这里llndxlxnxflntdttFacos)(1cos)(1,2,1,0nllndxlxnxflntdttFbsin)(1sin)(1,2,1n.就是以l2为周期的周期函数)(xf的傅里叶系数而)(xf～10sincos2nnnlxnblxnaa就是以l2为周期的周期函数)(xf的傅里叶级数.当函数)(xf在区间],[ll上按段光滑时,)(xf可展开为傅里叶级数.同样可由收敛定理知道2)0()0(xfxf10sincos2nnnlxnblxnaa.15-1-13例1把函数50,305,0)(xxxf展开成傅里叶级数.二偶函数和奇函数的傅里叶级数:1区间],[ll上偶函数和奇函数的傅里叶级数:设)(xf是以l2为周期的偶函数，或是定义在],[ll上的偶函数，则lllndxlxnxfldxlxnxfla0cos)(2cos)(1,2,1,0n0sin)(1llndxlxnxflb,2,1n于是15-1-14)(xf～10cos2nnlxnaa其中lndxlxnxfla0cos)(2，10cos2nnlxnaa为余弦级数.同理，若)(xf是以l2为周期的奇函数，或是定义在],[ll上的奇函数，则0cos)(1llndxlxnxfla,2,1,0nlndxlxnxflb0sin)(2,2,1n于是)(xf～1sinnnlxnb其中lndxlxnxflb0sin)(2，1sinnnlxnb为正弦级数.若l,则偶函数)(xf所展开成的余弦级数为15-1-15)(xf～10cos2nnnxaa其中0cos)(2nxdxxfan,,2,1,0n当l且)(xf为奇函数时,则它所展开成的正弦级数为)(xf～1sinnnnxb其中0sin)(2nxdxxfbn,,2,1n2奇展开和偶展开在实际应用中，有时需把定义在],0[（或一般地],0[l）上函数展开成余弦或正弦级数.为此,先把定义在],0[上的函数15-1-16作偶式