(自主招生培训)第一讲：立体几何

【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第1页第一讲：立体几何第一部分：立体几何中的一些结论1、如图1，分别在两条异面直线上的两点间的距离公式：2222coslmndmn，其中为两条异面直线所成的角．2、如图2，PA与平面所成的角是PAO，AQ面，QAO，QAP，则得三线角定理：coscoscos．3、如图3，在二面角12l中，射线DA、DB分别在平面1、2内，已知ABD，ADC，BDC，且、、都是锐角，是二面角12l的平面角，则coscoscoscossinsin．4、如图4，二面角12l的大小为，A面1，B面2，AB与面1和面2所成的角分别为、，点A、B到棱l的距离分别为b、a，ABc，则sinsinsinabc．5、欧拉定理：设V、E和F分别表示凸多面体的顶点、棱（或边）、面的个数，则2VEF．6、类比平面几何中的三角形，可以得到空间四面体的一些性质：（1）四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫四面体的外接球球心；（2）四面体的四个面组成的六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫四面体的内切球球心；用V、ABMNdlmnABMNdlmn图1PAQO图2lBAD12图3ClBAD12图4C【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第2页r、S分别表示四面体的体积、内切球半径、表面积，则13VrS；（3）四面体的四个面的重心与相对顶点的连线交于一点，这一点叫四面体的重心，四面体的四个面的重心与相对顶点的连线段被四面体的重心分为3:1；（4）每个四面体都有外接球和内切球；7、直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，以长方体的共顶点的三条棱的端点为顶点的四面体是直角四面体．对于直角四面体ABCD，若直三面角的顶点为A，互相垂直的三条棱长为a、b、c，外接球半径为R，内切球半径为r，则有如下结论：（1）空间勾股定理：22222222221()4ABCACDABDBCDSSSSabbcac；（2）ABCACDABDBCDSSSSrabc；（3）22212Rabc；（4）直角四面体的对棱中点的连线长相等，且等于外接球半径；8、等腰四面体：三组对棱都相等的四面体统称为等腰四面体，以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，正四面体是特殊的等腰四面体（犹如平几中等腰三角形与等边三角形的关系）；在等腰四面体ABCD中，记BCADa，ACBDb，ABCDc，体积为V，外接球半径为R，内切球半径为r，高为h，则有：（1）22222222222222211()()()32223abcbcaacbVkakbkc，其中22222abck；（2）22224Rabc；（3）4hr；（4）等腰四面体的四个顶点与对面重心的连线段的长相等，且可表示为22223mabc；ABDCOM图5ADBC图6【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第3页第二部分：例题讲解【例1】（“卓越联盟”2012自招）在直角梯形ABCD中，090ABC，1ABADAP,2BC，面ABP⊥面ABCD．（1）求证：面PAB⊥面PBC；（2）若0120PAB，求二面角BPDC的正切值．【例2】（清华2008自招）（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形；（2）四面体的一个顶点的三个面角分别为090、060、arctan2，求060的面和arctan2的面所成的二面角的大小．【例3】（同济2010自招）四面体ABCD中，AB和CD为对棱，设ABa，CDb，且异面直线AB与CD间的距离为d，夹角为．（1）若2，且棱AB垂直与平面BCD，求四面体ABCD的体积；（2）当2时，证明：四面体ABCD的体积为定值；（3）求四面体ABCD的体积．PABCDABCDADCBMNO【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第4页【例4】（清华2009自招）四面体ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC．（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）设底面为BCD，另外三个面与面BCD所成的二面角为、、，求证：coscoscos1．【例5】（复旦2009自招）半径为R的球内部装4个半径相同的小球，则小球半径r的最大值为．【例6】（1）（武大2006自招）已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有30条棱，则多面体的面数F和顶点数V分别是．（2）一个凸多面体各面的内角和为20，求它的面数、棱数和顶点数．【例7】（五校联考2010）如图，四棱锥PABCD中，1B、1D分别为PB、PD的中点，求两个棱锥11ABCD、PABCD的体积之比11ABCDPABCDVV的值．（提示：本题可用这样一个结论：如图，1A、1B、1C分别是OA、OB、OC上（或其延长线）的点，则111111OABCOABCVOAOBOCVOAOBOC）ADBCABCDP1B1D【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第5页【例8】（五校联考2010）（1）一个正三棱锥的体积为23，求它的表面积的最小值；（2）一个正n棱锥的体积为V（定值），求一个与n无关的充要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值．【例9】（复旦2001基地）全面积为定值2a（0a）的圆锥中，体积的最大值为．第三部分：练习题1、（五校联考2010）平面∥平面，直线m，n，Am，Bn，AB与平面所成角为4，ABn，AB与m的夹角为3，则m与n所成的角为．2、直线l面，经过面外一点A作与直线l、面都成030的直线有且只有条．3、（华约2011自招）两条异面直线a、b所成角为060，点P为空间一定点，则过点P且与直线a、b所成的角都是045的直线有且只有条．4、已知二面角l的大小为050，P为空间一定点，则过点P且与面、面所成的角都是025的直线有且只有条．mnAB【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第6页5、直线a与平面所成的角为030，P为空间一定点，过P作与直线a、面都成045角的直线有且只有条．6、过正方体1111ABCDABCD的顶点A作直线l，使l与棱AB、AD、1AA所成的角都相等，这样的直线有条．7、（复旦2008自招）空间中，与三条两两异面的直线都相交的直线有条．8、已有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点相连能焊接成一个三棱锥的铁架，则a的范围是．9、一个空间四面体有5条棱长均为2，则该四面体的体积的取值范围为．10、在正三棱锥PABC中，M为ABC内（含边界）一动点，若点M到三个侧面PAB、面PBC、面PCA的距离成等差数列，则点M的轨迹是．11、在直三棱柱111ABCABC中，底面为直角三角形，090ACB，6AC，12BCCC，点P是1BC上一动点，则1APPC的最小值为．【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第7页12、一个四棱锥和三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面是正方形，且底面边长和侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长和侧棱长也相等，设四棱锥、三棱锥、棱柱的高分别为1h、2h、h，则12::hhh．13、在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两垂直，且OAOBOC，分别过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S、2S、3S，则1S、2S、3S的大小关系为．14、在三棱锥PABC中，2PABC，3PBAC，4PCAB，则此三棱锥外接球的表面积为．15、在正三棱锥PABC中，E、F分别是PA、AB的中点，若090CEF，2ABa，则此三棱锥的外接球球心到底面ABC的距离是．若M面ABC，且点M到面PAB、面PBC、面PAC的距离分别为1、2、3，则PM．16、（华南理工2009自招）已知A、B、C、D四点是某球面上不共面的四点，且2ABBCAD，2BDAC，BCAD，则此球的表面积为．17、半径为2的球面上有A、B、C、D四点，且2ABCD，则四面体ABCD的体积的最大值为．18、（复旦2008自招）在三棱柱111ABCABC中，M、N分别是1BB和11BC的中点，由A、M、N所确定的平面将该三棱柱分割成的体积不等的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为．19、（南大2009自招）四面体ABCD中，平面截四面体所得的截面为EFGH，且AB∥面，CD∥面，AB到平面的距离为1d，CD到平面的距离为2d，12dkd．则空间几何体ABEFGH与四【（自主招生培训）第一讲：立体几何】第8页面体ABCD的体积之比．（用k表示）20、（华南理工2009自招）在正三棱锥PABC中，侧棱长为3，底面边长为2，E为BC的中点，EF⊥PA于F．（1）求证：EF为异面直线PA与BC的公垂线；（2）求异面直线PA与BC间的距离；（3）求点B到面PAC的距离．21、（华约2011）在正四棱锥PABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为2，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为．22、（卓越联盟2011）在三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长均为2，且E为1CC的中点，则点1C到平面1ABE的距离为．23、（复旦2012）侧面积为定值a的圆锥的最大体积的二次幂为．24、（2011年全国高中数学联赛）在四面体ABCD中，3ADBBDCCDA，3ADBD，2CD，则外接球的半径是．