函数导数任意存在”-型问题归纳总结

资料.函数导数任意性和存在性问题探究导学语函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下：题型分类解析一．单一函数单一“任意”型战略思想一：“xA，()()afx恒成立”等价于“当xA时，max()()afx”；“xA，()()afx恒成立”等价于“当xA时，min()()afx”.例1：已知二次函数2()fxaxx，若[0,1]x时，恒有|()|1fx，求实数a的取值范围.解：|()|1fx，∴211axx；即211xaxx；当0x时，不等式显然成立，∴a∈R.当01x时，由211xaxx得：221111axxxx，而min211()0xx，∴0a.又∵max211()2xx，∴2,20aa，综上得a的范围是[2,0]a.二．单一函数单一“存在”型战略思想二：“xA，使得()()afx成立”等价于“当xA时，min()()afx”；“xA，使得()()afx成立”等价于“当xA时，max()()afx”.例2.已知函数2()lnfxaxx(aR)，若存在[1,]xe，使得()(2)fxax成立，求实数a的取值范围.解析：()(2)fxaxxxxxa2)ln(2.∵[1,]xe，∴xx1ln且等号不能同时取，所以xxln，即0lnxx，因而xxxxaln22，[1,]xe，令xxxxxgln2)(2],1[ex，又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，af(x)下限f(x)上限af(x)下限f(x)上限资料.当],1[ex时，1ln,01xx，0ln22xx，从而0)(xg（仅当x=1时取等号），所以)(xg在],1[e上为增函数，故)(xg的最小值为1)1(g，所以a的取值范围是),1[．三．单一函数双“任意”型战略思想三：xR，都有12()()()fxfxfx12(),()fxfx分别是()fx的最小值和最大值，12||xxmin是同时出现最大值和最小值的最短区间.例3.已知函数()2sin()25xfx，若对xR，都有12()()()fxfxfx成立，则12||xx的最小值为____.解∵对任意x∈R，不等式12()()()fxfxfx恒成立，∴12(),()fxfx分别是()fx的最小值和最大值.对于函数sinyx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.又函数()2sin()25xfx的周期为4，∴12||xx的最小值为2.战略思想四：,,21Axx1212()()()22xxfxfxf成立()fx在A上是上凸函数0)(''xf例4.在222,log2,,cosyxyxyxyx这四个函数中，当1201xx时，使1212()()()22xxfxfxf恒成立的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件1212()()()22xxfxfxf的函数，应是凸函数的性质，画草图即知2log2yx符合题意；战略思想五：,,21Axx1212()()0fxfxxx成立()fx在A上是增函数例5已知函数()fx定义域为[1,1]，(1)1f，若,[1,1]mn，0mn时，都有()()0fmfnmn，若2()21fxtat对所有[1,1]x，[1,1]a恒成立，求实数t取值范围.xyx1x2yxOf(x1)f(x2)x1x2资料.解：任取1211xx，则12121212()()()()()fxfxfxfxxxxx，由已知1212()()0fxfxxx，又120xx，∴12()()0fxfx，即()fx在[1,1]上为增函数.∵(1)1f，∴[1,1]x，恒有()1fx；∴要使2()21fxtat对所有[1,1]x，[1,1]a恒成立，即要2211tat恒成立，故220tat恒成立，令2()2gaatt，只须(1)0g且(1)0g，解得2t或0t或2t.战略思想六：,,21Axxtxfxf|)()(|21（t为常数）成立t=minmax)()(xfxf例6.已知函数43()2fxxx，则对任意121,[,2]2tt（12tt）都有|)()(|21tftf恒成立，当且仅当1t=____，2t=____时取等号.解：因为12maxmin|()()||[()][()]|fxfxfxfx恒成立，由431()2,[,2]2fxxxx，易求得max327[()]()216fxf，min15[()]()216fxf，∴12|()()|2fxfx.战略思想七：,,21Axx|||)()(|2121xxtxfxftxxxfxf|)()(|2121)0(t|)('|txf例7.已知函数()yfx满足：(1)定义域为[1,1]；(2)方程()0fx至少有两个实根1和1；(3)过()fx图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1)证明:|(0)|1f；(2)证明：对任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfx.证明(1)略；(2)由条件(2)知(1)(1)0ff，资料.不妨设1211xx，由(3)知121221|()()|||fxfxxxxx，又∵121212|()()||()||()||()(1)||()(1)|fxfxfxfxfxffxf122112112()2|()()|xxxxfxfx；∴12|()()|1fxfx例8.已知函数3()fxxaxb，对于12123,(0,)()3xxxx时总有1212|()()|||fxfxxx成立，求实数a的范围.解由3()fxxaxb，得'2()3fxxa，当3(0,)3x时，'()1afxa，∵1212|()()|||fxfxxx，∴1212()()||1fxfxxx，∴11011aaa评注由导数的几何意义知道，函数()yfx图像上任意两点1122(,),(,)PxyQxy连线的斜率211221()yykxxxx的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如1212|()()|||fxfxmxx|或1212|()()|||fxfxmxx(m＞0)型的不等式恒成立问题.四．双函数“任意”+“存在”型：战略思想八：12,xAxB，使得12()()fxgx成立minmin()()fxgx；12,xAxB，使得12()()fxgx成立maxmax()()fxgx.例9．已知函数2()25lnfxxxx，2()4gxxmx，若存在1(0,1)x，对任意2[1,2]x，总有12()()fxgx成立，求实数m的取值范围.解析：题意等价于()fx在(0,1)上的最大值大于或等于()gx在[1,2]上的最大值.22252()xxfxx，由'()0fx得，12x或2x，当1(0,)2x时，()0fx，当1(,1)2x时()0fx，所以在（0，1）上，max1()()35ln22fxf.资料.又()gx在[1,2]上的最大值为max{(1),(2)}gg，所以有185ln2()(1)35ln2521135ln282(115ln2)()(2)22mfgmmmfg85ln2m，所以实数m的取值范围是85ln2m.战略思想九：“1xA，2xB，使得12()()fxgx成立”“()fx的值域包含于．()gx的值域”.例10．设函数32115()4333fxxxx．（1）求()fx的单调区间．（2）设1a≥，函数32()32gxxaxa．若对于任意1[0,1]x，总存在0[0,1]x，使得10()()fxgx成立，求a的取值范围．解析：（1）'225()33fxxx，令'()0fx≥，即225033xx≤，解得：513x≤≤，∴()fx的单增区间为5[,1]3；单调减区间为5(,]3和[1,).（2）由（1）可知当[0,1]x时，()fx单调递增，∴当[0,1]x时，()[(0),(1)]fxff，即()[4,3]fx；又'22()33gxxa，且1a≥，∴当[0,1]x时，'()0gx≤，()gx单调递减，∴当[0,1]x时，()[(1),(0)]gxgg，即2()[321,2]gxaaa，又对于任意1[0,1]x，总存在0[0,1]x，使得10()()fxgx成立[4,3]2[321,2]aaa，即2321432aaa≤≤，解得：312a≤≤例11．已知函数1()ln1()afxxaxaRx;(1)当12a时，讨论()fx的单调性；（2）设2()24gxxbx，当14a时，若对1(0,2)x，2[1,2]x,使12()()fxgx，求实数f(x)下限f(x)上限g(x)下限g(x)上限资料.b的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a≤0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a=21时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；当0a21时，函数()fx在（0,1）上单调递减，在1(1,1)a上单调递增，在1(1,)a上单调递减；（2）函数的定义域为（0，+∞），f（x）=x1－a+21xa=－221xaxax，a=41时，由f（x）=0可得x1=1,x2=3.因为a=41∈（0,21），x2=3（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以f(x)在（0,2）上的最小值为f(1)=－21.由于“对x1∈（0,2），x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值f(1)=－21”.（※）又g(x)=(x－b)2+4－b2,x∈[1,2],所以①当b1时，因为[g(x)]min=g(1)=5－2b0,此时与（※）矛盾；②当b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4－b2≥0，同样与（※）矛盾；③当b∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min=g(2)=8－4b.解不等式8－4b≤－21，可得b≥817.综上，b的取值范围是[817,+∞).五．双函数“任意”+“任意”型战略思想十：12,xAxB，使得12()()fxgx成立minmax()()fxgx例12.已知函数32149()3,()332xcfxxxxgx，若对任意12,[2,2]xx，都有12()()fxgx，求c的范围.解：因为对任意的12,[2,2]xx，都有12()()fxgx成立，资料.∴maxmin[()][()]fxgx，∵'2()23fxxx，令'()0fx得3,1xxx＞3或x＜-1；'()0fx得13x；∴()fx在[2,1]为增函数，在[1,2]为