高三复习：函数的单调性的题型分类及解析

函数的单调性知识点1、增函数定义、减函数的定义：（1）设函数)(xfy的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值21,xx,当改变量012xxx时，都有0)()(12xfxfy，那么就称函数)(xfy在区间M上是增函数，如图（1）当改变量012xxx时，都有0)()(12xfxfy，那么就称函数)(xfy在区间M上是减函数，如图（2）注意：单调性定义中的x1、x2有什么特征：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．1、根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)能否推出x1x2(x1x2)2、我们来比较一下增函数与减函数定义中yx,的符号规律，你有什么发现没有？3、如果将增函数中的“当012xxx时，都有0)()(12xfxfy”改为当012xxx时，都有0)()(12xfxfy结论是否一样呢？4、定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若0)()(2121xxxfxf即0xy，则函数y=f(x)是增函数，若0)()(2121xxxfxf即0xy，则函数y=f(x)为减函数。判断题：①已知1()fxx因为(1)(2)ff，所以函数()fx是增函数．②若函数()fx满足(2)(3)ff则函数()fx在区间2,3上为增函数．③若函数()fx在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数()fx在区间(1,3)上为增函数．④因为函数1()fxx在区间,0),(0,)上都是减函数，所以1()fxx在(,0)(0,)上是减函数.通过判断题，强调几点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数．（2）单调区间如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间．函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，0)()(2121xxxfxf（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，0)()(2121xxxfxf（3）函数的单调性还有以下性质．1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝)(1xf与y＝f（x）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．4.如果k0函数kfx与函数fx具有相同的单调性。如果k0函数kfx与函数fx具有相反的单调性。5..若fx0，则函数1fx与fx具有相反的单调性,.6.若fxO，函数fx与函数fx具有相同的单调性。若fx0，函数fx与函数fx具有相同的单调性7。.函数xf在R上具有单调性，则xf在R上具有相反的单调性。复合函数的单调性。如果函数xguAxBuufyBCDy，则xgfy称为x的复合函数。解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u的定义域与值域的作用。复合函数的单调性的判断：同增异减。函数单调状况内层函数ugx增增减减外层函数yfu增减增减复合函数yfgx增减减增函数的单调性题型分类讲解题型一：.单调性讨论1.讨论函数y=(k-2)x+3(a≠0)在区间R内的单调性.2.讨论函数f(x)＝21xax(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝2111xax-2221xax＝)1)(1()1)((22212121xxxxxxa∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.题型二：单调性判断与证明1.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是A．y＝|x2－1|B.xy2C．y＝2x2－x＋1D．y＝|x|＋1题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性1.求下列函数的增区间与减区间(1)y＝|x2＋2x－3|1122xxxy32y2xx2.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？题型四：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性1.若函数y＝ax,y＝－xb在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上是________（填单调性）．设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．上是单调递减的。），（－在，由复合函数单调性可知是单减的，上在又），（－），（而）上是增函数，，（在则由已知得解：令04)]([)2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(xxtfxfxxxtxxxtttfxxt），的单减区间是（－04)2(xf2.设函数y＝f（x）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y＝f（x2－1）的单调递减区间是______________3.已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f(2－x2)，那么函数g(x)（）A．在区间(－1，0)上是减函数B．在区间(0，1)上是减函数C．在区间(－2，0)上是增函数D．在区间(0，2)上是增函数4.设yfx是R上的减函数，则3yfx的单调递减区间为.题型五：已知函数的单调性，求参数的取值范围。1.已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是.2.已知函数y＝－x2＋2x＋1在区间［－3，a］上是增函数，则a的取值范围是______________3.函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__．4.函数21)(xaxxf在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）A.210aB.21aC.a-1或a1D.a-2解：f(x)＝ax＋1x＋2＝a(x＋2)＋1－2ax＋2＝1－2ax＋2＋a.任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2).∵函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)0.∵x2－x10，x1＋20，x2＋20，∴1－2a0，a12.即实数a的取值范围是12，＋∞.题型六：函数单调性的应用1．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（）A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)2．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则（）A．f(－1)＜f(3)B．f(0)＞f(3)C．f(－1)=f(－3)D．f(2)＜f(3)3.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（）A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根题型七：已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。1．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集的补集是（）A．(－1，2)B．(1，4)C．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D．(－∞，－1)∪[2，＋∞）2已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)f(x2－1)求x的取值范围．3.已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0.若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，x≥0，4x－x2＝－(x－2)2＋4，x0，由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)f(a)得2－a2a，即a2＋a－20，解得－2a1.故选C.4.已知f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x－2)≤3题型八：已知函数的单调性求最值1.已知x∈[0，1]，则函数的最大值为_______最小值为_________2.函数y=x－2x1＋2的值域为_____．题型九：综合题型1.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21xx=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.（1）求f(1)（2）判断f(x（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.解答：（1）f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0。（2）当0xy时，y/x1，所以f(y)-f(x)=f(y/x)0。故f单调减。（3）f(3)=-1，f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)，f(9)=-2而f（｜x｜)＜-2=f(9)，且f单调减，所以|x|9x＞9或x＜-92.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.xxy1223)2()4()8(2)2()2()4()()()(ffffffyfxfxyf解：)2()2()(2xxfxfxf又)8()2(2fxxf由题意有82020R)(2xxxxxf上的增函数为＋42，解得x（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f（x2）＞f(x1).f(x)是R上的增函数.（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜,故解集为.3.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(yfxfyxf（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式2)31()(xfxf。解答：（1）证明：)()()(yfxfyxf，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，)()()]()1([)()1()()1()(yfxfyffxfyfxfyxfxyf。（2）解：∵)]3()1([)()31()(xffxfxfxf)3()3()(2xxfxfxf，∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），∴2)31()(