函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)

第1页共7页《函数的基本性质》专题复习（一）函数的单调性与最值★知识梳理一、函数的单调性1、定义：设函数的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是，称为的。如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是，称为的。2、单调性的简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。★热点考点题型探析考点1判断函数的单调性【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1fxx在区间（1，+）上的单调性.【巩固练习】证明：函数2()1xfxx在区间（0，1）上的单调递减.)(xfyAAII1x2x21xx)()(21xfxf)(xfyII)(xfyI1x2x21xx)()(21xfxf)(xfyII)(xfy第2页共7页考点2求函数的单调区间1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|yx；（2）22||3yxx.2.已知二次函数2()22fxxax在区间(∞，4)上是减函数，求a的取值范围.【巩固练习】1．函数26yxx的减区间是（）.A.(,2]B.[2,)C.[3,)D.(,3]2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.A.y=－x+1B.y=xC.y=x2－4x＋5D.y=2x3.已知函数f(x)在-1（，）上单调递减，在[1+，）单调递增，那么f(1)，f(－1)，f(3)之间的大小关系为.4.已知函数)(xf是定义在]1,1[上的增函数,且)31()1(xfxf,求x的取值范围.5.已知二次函数2()22fxaxx在区间(∞，2)上具有单调性，求a的取值范围.第3页共7页二、函数的最大（小）值：1、定义：设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的。2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图象求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；考点3函数的最值【例】求函数25332,[,]22yxxx的最大值和最小值：【巩固练习】1．函数42yx在区间3,6上是减函数，则y的最小值是___________.2.23()1,[0,]2fxxxx已知函数的最大（小）值情况为（）.A.有最大值34，但无最小值B.有最小值34，有最大值1C.有最小值1，有最大值194D.无最大值，也无最小值4.已知函数322xxy在区间],0[m上有最大值3,最小值2,求m的取值范围.3.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.)(xfyAAx0Ax)()(0xfxf)(0xf)(xfyAx0Ax)()(0xfxf)(0xf)(xfy第4页共7页(二)函数的奇偶性★知识梳理函数的奇偶性1、定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。2、函数奇偶性的性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶，奇奇=偶，奇÷奇=偶，偶偶=偶，偶÷偶=偶，奇×偶=奇，奇÷偶=奇非零常数×奇=奇，非零常数×偶=偶。3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。★热点考点题型探析考点1判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：（1）31()fxxx；（2）()|1||1|fxxx；（3）23()fxxx.考点2函数的奇偶性综合应用【例1】已知()fx是奇函数，()gx是偶函数，且1()()1fxgxx，求()fx、()gx.)(xfx)()(xfxf0)()(xfxf)(xf)(xfx)()(xfxf0)()(xfxf)(xfy第5页共7页【例2】已知()fx是偶函数，0x时，2()24fxxx，求0x时()fx的解析式.【例3】设函数()fx是定义在R上的奇函数，且在区间(,0)上是减函数。试判断函数()fx在区间(0,)上的单调性，并给予证明。【巩固练习】1．函数(||1)yxx(|x|≤3)的奇偶性是（）.A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2.若奇函数()fx在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]上是（）.A.增函数且最小值是－1B.增函数且最大值是－1C.减函数且最大值是－1D.减函数且最小值是－13.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．；B．；C．；D．4.设是上的奇函数，，当时，，则为5．已知53()8fxxaxbx，(2)10f，则(2)f.6.已知函数()fx是R上的奇函数，当0x时，()(1)fxxx。求函数()fx的解析式。()fx(,1)3()(1)(2)2fff3(1)()(2)2fff3(2)(1)()2fff3(2)()(1)2fff)(xf),(0)()2(xfxf10xxxf)()5.7(f第6页共7页课后练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。1．下面说法正确的选项（）A．函数的单调区间可以是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．3．函数是单调函数时，的取值范围（）A．B．C．D．4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（）A．最大值B．最小值C．没有最大值D．没有最小值5．函数，是（）A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与有关6．函数在和都是增函数，若，且那么（）A．B．C．D．无法确定7．函数在区间是增函数，则的递增区间是（）A．B．C．D．8．函数在实数集上是增函数，则（）A．21kB．21kC．D．9．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）A．B．C．D．10．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．函数在R上为奇函数，且，则当，.12．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为.13．定义在R上的函数（已知）可用的=和来表示，且为奇函数，为偶函数，则=.第7页共7页14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为；.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15．（12分）已知，求函数得单调递减区间.16．（12分）判断下列函数的奇偶性①；②；③；17．（12分）已知8)(52017xbaxxxf，10)2(f，求)2(f.18．（12分））函数)(),(xgxf在区间ba,上都有意义，且在此区间上①为增函数，；②为减函数，.判断)()(xgxf在ba,的单调性，并给出证明.19．（14分）在经济学中，函数)(xf的边际函数为)(xMf，定义为)()1()(xfxfxMf，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x台的收入函数为2203000)(xxxR（单位元），其成本函数为4000500)(xxC（单位元），利润的等于收入与成本之差。①求出利润函数)(xp及其边际利润函数)(xMp；②求出的利润函数)(xp及其边际利润函数)(xMp是否具有相同的最大值；③你认为本题中边际利润函数)(xMp最大值的实际意义。20．（14分）已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.