函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)

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第1页共7页《函数的基本性质》专题复习(一)函数的单调性与最值★知识梳理一、函数的单调性1、定义:设函数的定义域为,区间如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是,称为的。如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是,称为的。2、单调性的简单性质:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内:增函数)(xf增函数)(xg是增函数;减函数)(xf减函数)(xg是减函数;增函数)(xf减函数)(xg是增函数;减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3、判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:○1任取x1,x2∈D,且x1x2;○2作差f(x1)-f(x2);○3变形(通常是因式分解和配方);○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。★热点考点题型探析考点1判断函数的单调性【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1fxx在区间(1,+)上的单调性.【巩固练习】证明:函数2()1xfxx在区间(0,1)上的单调递减.)(xfyAAII1x2x21xx)()(21xfxf)(xfyII)(xfyI1x2x21xx)()(21xfxf)(xfyII)(xfy第2页共7页考点2求函数的单调区间1.指出下列函数的单调区间:(1)|1|yx;(2)22||3yxx.2.已知二次函数2()22fxxax在区间(∞,4)上是减函数,求a的取值范围.【巩固练习】1.函数26yxx的减区间是().A.(,2]B.[2,)C.[3,)D.(,3]2.在区间(0,2)上是增函数的是().A.y=-x+1B.y=xC.y=x2-4x+5D.y=2x3.已知函数f(x)在-1(,)上单调递减,在[1+,)单调递增,那么f(1),f(-1),f(3)之间的大小关系为.4.已知函数)(xf是定义在]1,1[上的增函数,且)31()1(xfxf,求x的取值范围.5.已知二次函数2()22fxaxx在区间(∞,2)上具有单调性,求a的取值范围.第3页共7页二、函数的最大(小)值:1、定义:设函数的定义域为如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的;如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的。2、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;○2利用图象求函数的最大(小)值;○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);考点3函数的最值【例】求函数25332,[,]22yxxx的最大值和最小值:【巩固练习】1.函数42yx在区间3,6上是减函数,则y的最小值是___________.2.23()1,[0,]2fxxxx已知函数的最大(小)值情况为().A.有最大值34,但无最小值B.有最小值34,有最大值1C.有最小值1,有最大值194D.无最大值,也无最小值4.已知函数322xxy在区间],0[m上有最大值3,最小值2,求m的取值范围.3.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时,每天可售出100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价1元,其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚得的利润最大?并求出最大利润.)(xfyAAx0Ax)()(0xfxf)(0xf)(xfyAx0Ax)()(0xfxf)(0xf)(xfy第4页共7页(二)函数的奇偶性★知识梳理函数的奇偶性1、定义:①对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。2、函数奇偶性的性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;②设()fx,()gx的定义域分别是12,DD,那么在它们的公共定义域上:奇奇=奇,偶偶=偶,奇偶=非奇非偶,奇奇=偶,奇÷奇=偶,偶偶=偶,偶÷偶=偶,奇×偶=奇,奇÷偶=奇非零常数×奇=奇,非零常数×偶=偶。3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。★热点考点题型探析考点1判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性:(1)31()fxxx;(2)()|1||1|fxxx;(3)23()fxxx.考点2函数的奇偶性综合应用【例1】已知()fx是奇函数,()gx是偶函数,且1()()1fxgxx,求()fx、()gx.)(xfx)()(xfxf0)()(xfxf)(xf)(xfx)()(xfxf0)()(xfxf)(xfy第5页共7页【例2】已知()fx是偶函数,0x时,2()24fxxx,求0x时()fx的解析式.【例3】设函数()fx是定义在R上的奇函数,且在区间(,0)上是减函数。试判断函数()fx在区间(0,)上的单调性,并给予证明。【巩固练习】1.函数(||1)yxx(|x|≤3)的奇偶性是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2.若奇函数()fx在[3,7]上是增函数,且最小值是1,则它在[7,3]上是().A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-13.若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是()A.;B.;C.;D.4.设是上的奇函数,,当时,,则为5.已知53()8fxxaxbx,(2)10f,则(2)f.6.已知函数()fx是R上的奇函数,当0x时,()(1)fxxx。求函数()fx的解析式。()fx(,1)3()(1)(2)2fff3(1)()(2)2fff3(2)(1)()2fff3(2)()(1)2fff)(xf),(0)()2(xfxf10xxxf)()5.7(f第6页共7页课后练习一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分)。1.下面说法正确的选项()A.函数的单调区间可以是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2.在区间上为增函数的是()A.B.C.D.3.函数是单调函数时,的取值范围()A.B.C.D.4.如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有()A.最大值B.最小值C.没有最大值D.没有最小值5.函数,是()A.偶函数B.奇函数C.不具有奇偶函数D.与有关6.函数在和都是增函数,若,且那么()A.B.C.D.无法确定7.函数在区间是增函数,则的递增区间是()A.B.C.D.8.函数在实数集上是增函数,则()A.21kB.21kC.D.9.定义在R上的偶函数,满足,且在区间上为递增,则()A.B.C.D.10.已知在实数集上是减函数,若,则下列正确的是()A.B.C.D.二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分).11.函数在R上为奇函数,且,则当,.12.函数,单调递减区间为,最大值和最小值的情况为.13.定义在R上的函数(已知)可用的=和来表示,且为奇函数,为偶函数,则=.第7页共7页14.构造一个满足下面三个条件的函数实例,①函数在上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为;.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15.(12分)已知,求函数得单调递减区间.16.(12分)判断下列函数的奇偶性①;②;③;17.(12分)已知8)(52017xbaxxxf,10)2(f,求)2(f.18.(12分))函数)(),(xgxf在区间ba,上都有意义,且在此区间上①为增函数,;②为减函数,.判断)()(xgxf在ba,的单调性,并给出证明.19.(14分)在经济学中,函数)(xf的边际函数为)(xMf,定义为)()1()(xfxfxMf,某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x台的收入函数为2203000)(xxxR(单位元),其成本函数为4000500)(xxC(单位元),利润的等于收入与成本之差。①求出利润函数)(xp及其边际利润函数)(xMp;②求出的利润函数)(xp及其边际利润函数)(xMp是否具有相同的最大值;③你认为本题中边际利润函数)(xMp最大值的实际意义。20.(14分)已知函数,且,,试问,是否存在实数,使得在上为减函数,并且在上为增函数.

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