3.2立体几何中的向量方法(4)

3.2立体几何中的向量综合(4)F1E1C1B1A1D1DABCyzxO用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤:1.建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；4.写出几何意义下的结论.例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(1)求证：PA∥平面EDB；DABCEPF如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG.11(1,0,0),(0,0,1),(0,,)22APE依题意得)021,21(,，的坐标为故点是此正方形的中心，故是正方形底面GGABCD)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EDBPAEDBEG平面且平面而,EDBPA平面所以，//zxyEGPAEGPA//2，即所以GABCDPEFxyZG)1,1,1(),0,1,1(PBB证明：依题意得021210),21,21,0(DEPBDE故又DEPB所以,,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(2)求证：PB⊥平面EFD；的平面角。是二面角故）可知由（法一：已知DPBCEFDDFPBEFPB,2,)1,,(),,,(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF因为(,,1)(1,1,1)(,,)xyzkkkkkzkykx1,,即0DFPB因为0131)1,,()1,1,1(kkkkkkk所以31k所以例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(3)求二面角C-PB-D的大小。DABCEPFGzxy213666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD)323131(，，F)21,21,0(E又)61,61,31(FE所以DABCEPFGzxy例1、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。(3)求二面角C-PB-D的大小。DABCEPFGzxy法二:(法向量)建系如图,P(0,0,1),C(0,1,0)B(1,1,0),A(1,0,0)易证:AC⊥平面PBD)0,1,1(n1ACPBD的法向量取平面),,(n2zyxPBC的法向量设平面CB=(1,0,0)CP=(0,-1,1)则n2·CB=0且n2·CP=0∴x=0且-y+z=0取n2=(0,1,1)21221,cos:212121nnnnnn故故所求二面角的大小为600例2、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=（1）求MN的长；（2）a为何值时？MN的长最小？（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。(02).aaABCDEFMNABCDMNExZy解:22FABCDMNEZyxG面MNA与面MNB所成二面角的余弦值为31F习题例1、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求证:(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。045ABC3.SABC2SABDOCSABDO例2.如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。3DBACEPxyZ解:建立空间直角坐标系，如图:设BE=m,则(0,0,0),(0,0,1),(3,0,0),(,1,0),APDEm(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm(,,),,,30,3,(3)0,(3),PDEnxyznDPnDExzzxmxyymx设平面的法向量为则解得1,(1,3,3),xnm令得2345sin45,4(3)PAPDEm与平面所成角的大小为3232mm解得或（舍）,3245BEPAPDE因此，当时，与平面所成角的大小为。例3（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（III）求点E到平面ACD的距离。2BDCDCBCA2ADAByZ解:(I)略(II)以O为原点，如图建立空间直角坐标系，(1,0,0),(1,0,0),BD则13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),22(1,0,1),(1,3,0).CAEBACD2cos,,4BACDBACDBACD所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为2.4CADBOE（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则(,,)(1,0,1)0,(,,)(0,3,1)0,nADxyznACxyz0,30.xzyz13(,,0),22EC1,y(3,1,3)n令得是平面ACD的一个法向量，321.77ECnhn所以点E到平面ACD的距离yZCADBOE小结利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。