2013年考研《高等数学》精讲班课件

2013年考研《高等数学》精讲班课件（内部资料）内容概览第一讲：多元函数微分学第二讲：复合函数求导法则第三讲：偏导数第四讲：全微分第五讲：隐函数的求导法则第六讲：多元函数极值第七讲：二重积分的概念和性质第八讲：二重积分的计算法第九讲：无穷级数第十讲：常数项级数审敛法第十一讲：幂级数第十二讲：函数展开成幂级数第十三讲：空间直角坐标系第十四讲：向量代数第十五讲：数量积与向量积第十六讲：平面及其方程第十七讲：空间曲线及其方程第十八讲：二次曲面第十九讲：空间曲线及其方程多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。第一讲：多元函数微分学在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数—多元函数，也提出了多元微积分问题。重点多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。难点复合函数求导，多元函数极值。函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。（1）邻域设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P（2）区域.)(的内点为则称，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设EPEPUPPE一、多元函数的概念.为开集则称的点都是内点，如果点集EE例如，}41),{(221yxyxE即为开集．EP的边界点．为），则称可以不属于，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点EPEEPEEP的边界．的边界点的全体称为EE是连通的．开集，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设DDDDEP例如，}.41|),{(22yxyx开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，}.41|),{(22yxyxxyoxyo则称为无界点集．为有界点集，否成立，则称对一切即，不超过间的距离与某一定点，使一切点如果存在正数对于点集EEPKAPKAPAEPKE连通的开集称为区域或开区域．}41|),{(22yxyx有界闭域；}0|),{(yxyx无界开区域．（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.xyo说明：内点一定是聚点；边界点可能是聚点；例}10|),{(22yxyx(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,}10|),{(22yxyx(0,0)是聚点但不属于集合．例如,}1|),{(22yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合．（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.说明：n维空间的记号为;nRn维空间中两点间距离公式),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQ特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1nn维空间中邻域、区域等概念邻域：nRPPPPPU,||),(00内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．设两点为（5）二元函数的定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.类似地可定义三元及三元以上函数．当2n时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD（6）二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如右图）二元函数的图形通常是一张曲面.定义1设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.二、多元函数的极限（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。——这是产生本质差异的根本原因。0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。说明：01sin)(lim222200yxyxyx证01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．例2求证例3求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limyxu2uuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyx例4证明不存在．26300limyxyxyx证取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．定义2设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式||00PP的一切点DP，都有|)(|APf成立，则称A为n元函数)(Pf当0PP时的极限，记为APfPP)(lim0.n元函数的极限利用点函数的形式有设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点且DP0，如果)()(lim00PfPfPP则称n元函数)(Pf在点0P处连续.设0P是函数)(Pf的定义域的聚点，如果)(Pf在点0P处不连续，则称0P是函数)(Pf的间断点.例5讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在(0,0)处的连续性．三、多元函数的连续性解取,cosxsiny)0,0(),(fyxf)cos(sin332,0,2当时220yx2)0,0(),(fyxf),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx故函数在(0,0)处连续.例6讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质四、小结若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00yx时，函数),(yxf都趋向于A，能否断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题不能.例,)(),(24223yxyxyxf)0,0(),(yx取,kxy2442223)(),(xkxxkxkxxf00x但是不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取,2yx244262)(),(yyyyyyf.41思考题解答练习题一、填空题:1、若yxxyyxyxftan),(22,则),(tytxf=____.2、若xyyxyxf2),(22,则)3,2(f__________;),1(xyf________________.3、若)0()(22yyyxxyf,则)(xf________.4、若22),(yxxyyxf,则),(yxf_________.函数)1ln(4222yxyxz的定义域是__________.6、函数yxz的定义域是______________.7、函数xyzarcsin的定义域是_______________.8、函数xyxyz2222的间断点是________________.二、求下列各极限:1、xyxyyx42lim00；2、xxyyxsinlim00；3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx.三、证明：0lim2200yxxyyx.四、证明极限yxxyyx11lim00不存在.练习题答案一、1、),(2yxft；2、1213,),(yxf；3、xx21；4、yyx112；5、xyyxyx4,10),(222；6、yxyxyx2,0,0),(；7、xyxxyx,0),(xyxxyx,0),(；8、02),(2xyyx.二、1、41；2、0；3、.第二讲：复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则可导而若)()(xuufy则复合函数)]([xfy对x的导数为dxdududydxdy这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具