函数复习(复合函数、解析式求法)

21、画出函数y=|-x+2x+3|的图像，指出函数的单调区间和最大值.2223||(1)4|xxx分析：y=|-0123x-1-21234y--11,3-+由图像可知函数的单调减区间为（，），（）单调递增区间为（1,1），（3，）2(),(1)2.(1)(2)()(3)()0+(4)(5)mfxxfxmfxfx、已知函数=+且求判断的奇偶性判断并证明在（，）的单调性试画出函数的大致图像函数的值域及最值x10y2y=x1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是()函数练习yxOyxOyxOCDyxOABD2．已知函数的解析式为：(1)求35(0),()5(01),28(1).xxfxxxxx(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值.31(1)()()2fffn，，的值；3．设函数f(x)＝若f(a)＞a，求实数a的取值范围.,)0(320)(121xxxx10122(2)0-011aaaaaaaa解：(1)当时，由已知可得即又a0,a不存在当时，有2a-3a即a-1又综上可得0321(1)()2135(32)(2)26xfxxxxyx、求下列函数的定义域：复合函数.,)12()]([,12)(,)(22RxxxgfyRxxxguRuuufy则例如、2()2,22,______.fxaxaffa例、若为一个正的常数，且则)(22a解得已知f[g(x)]的定义域为D，则f(x)的定义域为g(x)在D上值域。已知复合函数定义域求原函数定义域例（1）若函数y=f(x)的定义域为[-1，2]，则y=f(x-1)的定义域是（）.A、[-1，2]B、[0，3]C、[-2，1]D、[0，1]（2）若函数y=f(x+1)的定义域为[-1，2]，则y=f(x)的定义域是（）.A、[-1，2]B、[-2，1]C、[0，3]D、[0，1]（3）若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是（）.A、[0，5/2]B、[-1，4]C、[-5，5]D、[-3，7]ABC1(),()()1A{x|x-1}B{x|x-2}C{x|x-1,x-2}D{x|x-1,x-2}fxffxx练习：1、已知则函数的定义域为、、、且、或C2、(1)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,2]，求f(x)的定义域；(2)已知函数f(x)的定义域为[－1,3]，求f(2x－1)定义域.1、函数解析式：表示自变量x与函数值y之间的一种对应关系的表达式，是函数值与自变量之间建立联系的桥梁。2、求函数解析式的本质：就是求使自变量x与函数值y得以对应的对应法则f。它是函数的一种表示方法1．图象法1()()yfxfx例、已知函数的图像如图所示.求函数的解析式.Ｏｘｙ１１－１,(10)1,(01)xxxx解：由已知函数是分段函数，分别对每段求解析式易得f(x)=拓展：已知函数图象，求函数解析式，对于这类问题，我们只要能够准确地应用题中图象给出的已知条件确定解析式即可．例2、已知二次函数f(x)满足f(1)=1,f(-3)=f(5)=0,求f(x)2()(3)(5)1(1,1)-161,,16215()16fxaxxaaxxfx解：设函数为将代入得解得2、待定系数法()[()]42()fxffxxfx变式练习：已知为一次函数，且求的解析式.3．配凑法211(1)3.().ffxxx例3、已知求的解析式222211(1)3212(1)13111(1)2(1)2,(11)()22(1)fxxxxxxxxfxxxx解：总结提升：已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的问题，可先用g(x)表示h(x),然后再将g(x)用x代替，即得f(x)的解析式.(1)=+2,()fxxxfx变式练习：1、已知求细心观察整体配凑4、换元法：的表达式可用此法求形如)()()]([xfxgxhf2211()()111()(1)xffxxxfxxfxxx练习：、已知求2、已知求的表达式(1)1()fxxfx例4、求2221(1)()(1)1(1)()(1(1)xttftttfxx解：设则x=(t-1)x-1)1111.:(0)()1111()()(01)11tttxftxttftfxxxtx解设且22222112.:22()211()()2()2()xxxxfxxfxxxRxx解5、构造函数方程组求解析式：已知抽象的函数关系式常用此法2()()1,()fxfxxfx例5、已知求()(),()()2()()1()()2()()1()()xxfxfxfxfxfxfxxfxfxfxfxxfxfx分析：观察已知式子有如下特点：将式子中的换成式子的左边仍然只含有与两个未知数为此可根据这一特点构造下列关于与的方程组：解关于与的二元一次方程组消去可得的表达式1()3()2,()(2)fxfxfxxf变式练习：已知求的解析式并求的值.【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)是R上的奇函数；②x0时f(x)的解析式已知．解答本题可将x0的解析式转化到x0上求解．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式．六、利用奇偶性求函数解析式【解析】(1)当x＝0时，由f(－x)＝－f(x)得f(0)＝0；(2)当x0时，则－x0∴f(－x)＝(－x)·[1－(－x)]又∵f(－x)＝－f(x)∴－f(x)＝(－x)·(1＋x)∴f(x)＝x·(1＋x)∴函数f(x)的解析式为：f(x)＝x·(1－x)(x0)0(x＝0)x(1＋x)(x0)设，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)＝0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？【解析】设x0，则－x0∴f(x)＝f(－x)＝－x·[1－(－x)]＝－x·(1＋x)又f(0)＝0∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x(1－x)(x0)0(x＝0)－x·(1＋x)(x0)第二：待定系数法。第四：换元法：达形如f[h(x)]=g(x)求f(x)的表式可用此法第三：配凑法：细心观察整体配凑第五：构造方程组求解析式已知抽象的函数表达式常用此法第一：图像法特点：给出函数特征求函数解析式第六：利用函数奇偶性求解析式；R)(21)1(xxy；31)2(xy；32)4(2xxy；34)3(2xxy例求下列函数的值域配方法观察法求函数的值域；]1,3[34)5(2xxxy12(6)2xyx；(7)21.yxx换元法分离常数法图象法①观察法；②配方法；③图象法；④分离常数法；求函数值域常用的方法:小结【思路点拨】f(x－1)＋f(1－2x)0―→f(x－1)f(2x－1)―→根据单调性列不等式组―→解得实数x的取值范围例2、已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＋f(1－2x)0，求实数x的取值范围函数单调性奇偶性的综合应用【解析】∵f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是增函数．由f(x－1)＋f(1－2x)0得f(x－1)－f(1－2x)＝f(2x－1)∴－1≤x－1≤1－1≤2x－1≤1x－12x－1，即0≤x≤20≤x≤1x0∴0x≤1.∴x取值范围是(0,1]．解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．变式练习：若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减，若f(1－m)f(m)成立，求m的取值范围．【解析】由f(x)是偶函数得f(－x)＝f(x)，即f(|x|)＝f(x)∴f(1－m)＝f(|1－m|)f(m)＝f(|m|)∴f(|1－m|)f(|m|)又∵f(x)在[0,1]上单调递减∴－1≤1－m≤1－1≤m≤1|1－m||m|解得0≤m12